Упр.860 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Окружность пересекает сторону $$BC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$A_1$$ и $$A_2$$, сторону $$AC$$ — в точках $$B_1$$ и $$B_2$$, сторону $$AB$$ — в точках $$C_1$$ и $$C_2$$. Докажите, что отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки $$AA_2$$, $$BB_2$$ и $$CC_2$$ пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

По теореме о двух секущих из одной точки для окружности получаем:

$$AC_1\cdot AC_2=AB_2\cdot AB_1,$$

откуда

$$\frac{AC_1}{AB_1}=\frac{AB_2}{AC_2}.$$

Аналогично:

$$BA_1\cdot BA_2=BC_2\cdot BC_1,$$

откуда

$$\frac{BA_1}{BC_1}=\frac{BC_2}{BA_2};$$

$$CA_1\cdot CA_2=CB_2\cdot CB_1,$$

откуда

$$\frac{CB_1}{CA_1}=\frac{CA_2}{CB_2}.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} =\frac{AB_2}{AC_2}\cdot \frac{BC_2}{BA_2}\cdot \frac{CA_2}{CB_2}.$$

То есть

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1 \iff \frac{AB_2}{AC_2}\cdot \frac{BC_2}{BA_2}\cdot \frac{CA_2}{CB_2}=1.$$

По теореме Чевы это означает, что отрезки $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки $$AA_2,$$ $$BB_2,$$ $$CC_2$$ пересекаются в одной точке.