Упр.86 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ $$AC$$ основания параллельно диагонали $$BD_1$$. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы $$ABB_1$$ и $$CBB_1$$ прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

Подробный ответ

Пусть $$\alpha$$ — плоскость сечения. Так как $$\alpha$$ проходит через диагональ $$AC$$, то она проходит через точку $$O$$ — точку пересечения диагоналей основания $$ABCD$$.

Поскольку $$\alpha \parallel BD_1$$, то через точку $$O$$ в плоскости $$\alpha$$ можно провести прямую $$m \parallel BD_1$$. Обозначим

$$m \cap BD = M,$$

$$m \cap DD_1 = K.$$

Тогда в треугольнике $$BDD_1$$ прямая $$OM$$ параллельна $$BD_1$$, а точка $$O$$ — середина диагонали $$BD$$ параллелограмма $$ABCD$$. Следовательно, $$M$$ — середина $$BD$$, а значит, $$K$$ — середина $$DD_1$$.

Соединим точки $$A$$ и $$K$$, а также $$K$$ и $$C$$. Тогда сечение плоскостью $$\alpha$$ — треугольник $$AKC$$.

Докажем, что он равнобедренный.

Так как основание параллелепипеда $$ABCD$$ — ромб, то $$AD=DC$$. Кроме того, из условия $$\angle ABB_1=90^\circ$$ и $$\angle CBB_1=90^\circ$$ следует, что ребро $$BB_1$$ перпендикулярно плоскости основания, значит, $$AD \perp DD_1$$ и $$DC \perp DD_1$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ADD_1$$ и $$CDD_1$$. У них

$$AD=DC,$$

$$DD_1$$ — общая сторона,

$$\angle ADD_1=\angle CDD_1=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ADD_1 \cong \triangle CDD_1$$ по двум катетам, откуда

$$AD_1=CD_1.$$

Так как $$K$$ — середина $$DD_1$$, то в треугольниках $$ADD_1$$ и $$CDD_1$$ точки $$A$$ и $$C$$ симметричны относительно прямой, проходящей через середину $$DD_1$$ параллельно $$BD_1$$, поэтому

$$AK=KC.$$

Значит, $$\triangle AKC$$ равнобедренный.

Ответ: сечение — треугольник $$AKC$$, причём $$AK=KC$$.