Упр.859 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На стороне ВС треугольника АВС отмечены точки A_1 и A_2, симметричные относительно середины ВС, а на сторонах АС и АВ отмечены соответственно точки B_1, B_2 и C_1, C_2, симметричные относительно середин этих сторон. Докажите, что отрезки AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки AA_2, BB_2 и CC_2 пересекаются в одной точке.

Так как точки $$A_2,\ B_2,\ C_2$$ симметричны точкам $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ относительно середин соответствующих сторон, то выполняются равенства:

$$BA_2=CA_1,\quad BA_1=CA_2,$$

$$BC_1=AC_2,\quad BC_2=AC_1,$$

$$AB_2=CB_1,\quad CB_2=AB_1.$$

Рассмотрим произведение отношений:

$$ \frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{BC_2}{AC_2}\cdot \frac{CA_2}{BA_2}\cdot \frac{AB_2}{CB_2}. $$

Следовательно, по теореме Чевы для треугольника $$ABC$$ отрезки $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки $$AA_2,\ BB_2,\ CC_2$$ пересекаются в одной точке.

Ответ

$$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $$AA_2,\ BB_2,\ CC_2$$ пересекаются в одной точке.