Упр.859 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$A_1$$ и $$A_2$$, симметричные относительно середины $$BC$$, а на сторонах $$AC$$ и $$AB$$ отмечены соответственно точки $$B_1$$, $$B_2$$ и $$C_1$$, $$C_2$$, симметричные относительно середин этих сторон. Докажите, что отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки $$AA_2$$, $$BB_2$$ и $$CC_2$$ пересекаются в одной точке.

Так как точки $$A_2,\ B_2,\ C_2$$ симметричны точкам $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ относительно середин сторон треугольника, то

$$BA_2=CA_1,\quad BA_1=CA_2,$$
$$BC_1=AC_2,\quad BC_2=AC_1,$$
$$AB_2=CB_1,\quad AB_1=CB_2.$$

Тогда

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{BC_2}{AC_2}\cdot \frac{CA_2}{BA_2}\cdot \frac{AB_2}{CB_2}.$$

По теореме Чевы, из пересечения прямых $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ в одной точке следует пересечение в одной точке прямых $$AA_2,\ BB_2,\ CC_2$$.

Обратно, если $$AA_2,\ BB_2,\ CC_2$$ пересекаются в одной точке, то по тем же равенствам и теореме Чевы пересекаются в одной точке и $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$.

Следовательно, $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $$AA_2,\ BB_2,\ CC_2$$ пересекаются в одной точке.