Упр.858 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Треугольники АВС и A_1B_1C_1 расположены так, что прямые АВ и A_1B_1, BC и B_1C_1, CA и C_1A_1 пересекаются в точках Р, Q, R. Докажите, что прямые AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки Р, Q и R лежат на одной прямой (теорема Дезарга).

Подробный ответ

Пусть прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$T$$. Докажем, что тогда точки $$P, Q, R$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $$ABT$$, $$ACT$$ и $$BCT$$. Так как точки $$P, B, B_1, A_1$$ лежат на одной прямой, то по теореме Менелая для треугольника $$ABT$$ имеем

$$\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BB_1}{TB_1}\cdot \frac{TA_1}{AA_1}=1.$$

Аналогично, из коллинеарности точек $$R, C, C_1, A_1$$ и $$Q, C, C_1, B_1$$ получаем

$$\frac{AR}{CR}\cdot \frac{CC_1}{TC_1}\cdot \frac{TA_1}{AA_1}=1,$$

$$\frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CC_1}{TC_1}\cdot \frac{TB_1}{BB_1}=1.$$

Перемножим эти равенства:

$$ \frac{AP}{BP}\cdot \frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CR}{AR} \cdot \frac{BB_1}{TB_1}\cdot \frac{CC_1}{TC_1}\cdot \frac{TA_1}{AA_1} \cdot \frac{TC_1}{CC_1}\cdot \frac{TB_1}{BB_1}\cdot \frac{AA_1}{TA_1}=1. $$

После сокращения получаем

$$\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CR}{AR}=1.$$

По обратной теореме Менелая для треугольника $$ABC$$ это означает, что точки $$P, Q, R$$ лежат на одной прямой.

Теперь докажем обратное. Если точки $$P, Q, R$$ лежат на одной прямой, то по теореме Менелая для треугольника $$ABC$$

$$\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CR}{AR}=1.$$

Повторяя рассуждения в обратном порядке, получаем существование точки $$T$$, в которой пересекаются прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, либо эти прямые попарно параллельны.

Тем самым доказано, что прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки $$P, Q, R$$ лежат на одной прямой.