Упр.858 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ расположены так, что прямые $$AB$$ и $$A_1B_1$$, $$BC$$ и $$B_1C_1$$, $$CA$$ и $$C_1A_1$$ пересекаются в точках $$P$$, $$Q$$, $$R$$. Докажите, что прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки $$P$$, $$Q$$ и $$R$$ лежат на одной прямой (теорема Дезарга).

Пусть прямые $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$T$$. Тогда по теореме Менелая для треугольника $$ABT$$ и прямой $$P B_1 A_1$$ получаем

$$\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BB_1}{TB_1}\cdot \frac{TA_1}{AA_1}=1.$$

Аналогично, для треугольника $$ACT$$ и прямой $$R C_1 A_1$$ имеем

$$\frac{AR}{CR}\cdot \frac{CC_1}{TC_1}\cdot \frac{TA_1}{AA_1}=1,$$

а для треугольника $$BCT$$ и прямой $$Q C_1 B_1$$ —

$$\frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CC_1}{TC_1}\cdot \frac{TB_1}{BB_1}=1.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CR}{AR} = \frac{TB_1\cdot AA_1}{BB_1\cdot TA_1}\cdot \frac{TC_1\cdot BB_1}{CC_1\cdot TB_1}\cdot \frac{CC_1\cdot TA_1}{TC_1\cdot AA_1} =1.$$

Следовательно, по обратной теореме Менелая точки $$P,$$ $$Q$$ и $$R$$ лежат на одной прямой.

Обратно, если точки $$P,$$ $$Q$$ и $$R$$ лежат на одной прямой, то по теореме Менелая для треугольника $$ABC$$ и секущей $$PQR$$ получаем

$$\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CR}{AR}=1.$$

Сравнивая это равенство с предыдущими соотношениями, получаем, что прямые $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны.

Ответ

Прямые $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки $$P,$$ $$Q$$ и $$R$$ лежат на одной прямой.