Упр.857 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружность с центром $$O$$ касается двух неравных окружностей с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ в точках $$A_1$$ и $$A_2$$ соответственно. Докажите, что прямая $$A_1A_2$$ проходит через точку пересечения прямой $$O_1O_2$$ и общей касательной (внешней или внутренней) к окружностям с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$.

Обозначим радиусы данных окружностей через $$r,\; r_1,\; r_2.$$ Тогда

$$OA_1=r,\qquad O_1A_1=r_1,\qquad OA_2=r,\qquad O_2A_2=r_2.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle EO_1K$$ и $$\triangle EO_2L,$$ где $$KL$$ — общая касательная к окружностям с центрами $$O_1$$ и $$O_2.$$

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

$$\angle O_1KE=90^\circ,\qquad \angle O_2LE=90^\circ.$$

Кроме того, угол при точке $$E$$ у этих треугольников общий. Значит,

$$\triangle EO_1K \sim \triangle EO_2L.$$

Отсюда

$$\frac{EO_1}{EO_2}=\frac{KO_1}{LO_2}=\frac{r_1}{r_2}.$$

Теперь применим теорему Менелая к треугольнику $$OO_1O_2$$ и прямой $$A_1EA_2.$$ Получаем

$$\frac{OA_1}{O_1A_1}\cdot \frac{O_1E}{EO_2}\cdot \frac{O_2A_2}{A_2O} = 1.$$

Подставим найденные отношения:

$$\frac{OA_1}{O_1A_1}\cdot \frac{O_1E}{EO_2}\cdot \frac{O_2A_2}{A_2O} = \frac{r}{r_1}\cdot \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{r_2}{r} =1.$$

Следовательно, точки $$A_1,\; E,\; A_2$$ лежат на одной прямой. Значит, прямая $$A_1A_2$$ проходит через точку $$E$$, то есть через точку пересечения прямой $$O_1O_2$$ и общей касательной $$KL.$$