Упр.857 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружность с центром О касается двух неравных окружностей с центрами O_1 и O_2 в точках A_1 и A_2 соответственно. Докажите, что прямая A_1A_2 проходит через точку пересечения прямой O_1O_2 и общей касательной (внешней или внутренней) к окружностям с центрами O_1 и O_2.

Подробный ответ

Обозначим радиусы данных окружностей: $$O_1A_1=r_1,$$ $$O_2A_2=r_2,$$ а радиус окружности с центром $$O$$ — $$OA_1=OA_2=r.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle EO_2K$$ и $$\triangle EO_1L,$$ где $$K$$ и $$L$$ — точки касания общей касательной $$KL$$ с окружностями с центрами $$O_2$$ и $$O_1$$.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

$$\angle EO_2K=\angle EO_1L=90^\circ.$$

Кроме того, угол при точке $$E$$ у этих треугольников общий. Следовательно,

$$\triangle EO_2K \sim \triangle EO_1L.$$

Из подобия получаем

$$\frac{EO_1}{EO_2}=\frac{LO_1}{KO_2}=\frac{r_1}{r_2}.$$

Теперь применим теорему Менелая к треугольнику $$OO_1O_2$$ для прямой, проходящей через точки $$A_1, A_2, E$$:

$$\frac{OA_1}{O_1A_1}\cdot \frac{O_1E}{EO_2}\cdot \frac{O_2A_2}{A_2O}=\frac{r}{r_1}\cdot \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{r_2}{r}=1.$$

Значит, точки $$A_1,$$ $$A_2$$ и $$E$$ лежат на одной прямой. Следовательно, прямая $$A_1A_2$$ проходит через точку $$E=KL\cap O_1O_2$$, что и требовалось доказать.