Упр.856 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD, касается сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и S. Докажите, что прямые PQ, RS и АС пересекаются в одной точке или параллельны друг другу.

Из одной точки к окружности проведены касательные, значит их отрезки равны:

$$BP=BQ,\quad CQ=CR,\quad DR=DS,\quad AP=AS.$$

Рассмотрим произведение отношений:

$$ \frac{AP}{PB}\cdot \frac{BQ}{QC}\cdot \frac{CR}{RD}\cdot \frac{DS}{SA} = \frac{AP}{BQ}\cdot \frac{BQ}{QC}\cdot \frac{CQ}{DR}\cdot \frac{DR}{AP} =1. $$

Следовательно, для четырёх точек $P,Q,R,S$ на сторонах четырёхугольника выполнено условие из задачи 855: произведение соответствующих отношений равно $1$. Значит, прямые $PQ$, $RS$ и $AC$ либо пересекаются в одной точке, либо параллельны друг другу.

Ответ

$$PQ,\ RS\ \text{и}\ AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны.