Упр.855 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки К, L, М и N, не совпадающие с вершинами четырёхугольника. Докажите, что: а) прямые KL, MN и АС пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда AK/KB·BL/LC·CM/MD·DN/NA=1. б) прямые KL, MN и АС пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда это же верно в отношении прямых KN, LM и BD.

а) Пусть прямые $$KL$$ и $$AC$$ пересекаются в точке $$E$$, а прямые $$MN$$ и $$AC$$ — в точке $$E_1$$.

По теореме Менелая для $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ACD$$ получаем:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CE}{AE}=1,$$
$$\frac{AE_1}{CE_1}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}\cdot \frac{CE}{AE}\cdot \frac{AE_1}{CE_1}=1.$$

По условию

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1,$$

значит,

$$\frac{CE}{AE}\cdot \frac{AE_1}{CE_1}=1.$$

Отсюда

$$CE\cdot AE_1=AE\cdot CE_1.$$

Преобразуем:

$$CE(AE+EE_1)=AE(CE+EE_1),$$
$$CE\cdot EE_1=AE\cdot EE_1,$$
$$\bigl(CE-AE\bigr)EE_1=0.$$

Так как точки $$E$$ и $$E_1$$ не совпадают с точкой $$A$$, то $$CE\ne AE$$. Следовательно, $$EE_1=0$$, то есть $$E=E_1$$. Значит, прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке.

Обратно, если прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке, то, обозначив эту точку через $$E$$, по теореме Менелая для $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ACD$$ получаем:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CE}{AE}=1,$$
$$\frac{AE}{CE}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$

Перемножая, имеем:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$

Итак, утверждение пункта а) доказано.

б) Пусть прямые $$KN$$, $$LM$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$F$$. Тогда по теореме Менелая для $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$:

$$\frac{DN}{NA}\cdot \frac{AK}{KB}\cdot \frac{BF}{DF}=1,$$
$$\frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DF}{BF}=1.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$

По пункту а) это равносильно тому, что прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны друг другу.

Обратно, если для прямых $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ выполнено это условие, то по пункту а) произведение

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$

Тогда, применяя теорему Менелая к треугольникам $$ABD$$ и $$CBD$$, получаем, что прямые $$KN$$, $$LM$$ и $$BD$$ также пересекаются в одной точке или параллельны.

Следовательно, утверждение пункта б) доказано.

Ответ

а) $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда
$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$
б) Это верно для $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ тогда и только тогда, когда это верно для $$KN$$, $$LM$$ и $$BD$$.