Упр.855 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ отмечены соответственно точки $K$, $L$, $M$ и $N$, не совпадающие с вершинами четырёхугольника. Докажите, что:
а) прямые $KL$, $MN$ и $AC$ пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда $$\frac{AK}{KB}\cdot\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CM}{MD}\cdot\frac{DN}{NA}=1$$;
б) прямые $KL$, $MN$ и $AC$ пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда это же верно в отношении прямых $KN$, $LM$ и $BD$.

Подробный ответ

Пусть прямые $$KL$$ и $$AC$$ пересекаются в точке $$E$$, а прямые $$MN$$ и $$AC$$ — в точке $$E_1$$.

а)

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$. По теореме Менелая для них получаем:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,$$
$$\frac{AE_1}{CE_1}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AE_1}{CE_1}=1.$$

Если

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1,$$

то

$$\frac{CE}{EA}\cdot \frac{AE_1}{CE_1}=1,$$
то есть
$$CE\cdot AE_1=EA\cdot CE_1.$$

Пусть точки $$E$$ и $$E_1$$ лежат на одной прямой $$AC$$. Тогда можно записать $$CE=AE+AC$$ и $$CE_1=AE_1+AC$$, откуда после преобразований получаем $$EE_1=0$$, значит, $$E=E_1$$. Следовательно, прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке.

Обратно, если прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке, то $$E=E_1$$, и из формул Менелая сразу следует:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$

Значит,

$$KL,\ MN,\ AC$$
пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$

б)

Пусть прямые $$KN$$, $$LM$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$F$$. Тогда по теореме Менелая для треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$ имеем:

$$\frac{DN}{NA}\cdot \frac{AK}{KB}\cdot \frac{BF}{DF}=1,$$
$$\frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DF}{BF}=1.$$

Перемножая, получаем:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$

Но по пункту а) это равносильно тому, что прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны. Обратное рассуждение проводится так же: из условия пункта а) следует равенство произведения, а значит, по теореме Менелая для треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$ прямые $$KN$$, $$LM$$ и $$BD$$ также пересекаются в одной точке или параллельны.

Следовательно, прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда это же верно для прямых $$KN$$, $$LM$$ и $$BD$$.