Упр.854 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 atan10_11 new/854 106

Подробный ответ

Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$BC$$ и $$AD$$, $$K$$ и $$M$$ — середины оснований, $$N$$ — точка пересечения диагоналей, $$L$$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $$AB$$ и $$DC$$.

Рассмотрим треугольник $$ALD$$. Так как $$BC \parallel AD$$, то

$$\angle DAB=\angle CBL,\qquad \angle ADC=\angle BCL,$$

следовательно, $$\triangle BLC \sim \triangle ALD$$.

Из подобия получаем

$$\frac{AL}{BL}=\frac{AD}{BC}.$$

Проведём в треугольнике $$ALD$$ медиану $$LM$$. Поскольку $$K$$ — середина $$BC$$ и $$BC \parallel AD$$, то прямая, проходящая через середину одного основания трапеции и параллельная боковым сторонам, делит отрезок $$LM$$ пополам; значит, точка $$K$$ лежит на $$LM$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$KNC$$ и $$ANM$$. У них

$$\angle KNC=\angle ANM$$ — вертикальные,

$$\angle KCN=\angle AMN$$ — накрест лежащие при $$BC \parallel AD$$.

Следовательно, $$\triangle KNC \sim \triangle ANM$$, откуда

$$\frac{CN}{AN}=\frac{KC}{AM}.$$

Так как $$K$$ — середина $$BC$$, то $$BK=KC$$. Кроме того, из подобия $$\triangle BLC \sim \triangle ALD$$ имеем

$$\frac{AL}{BL}=\frac{AD}{BC}=\frac{AM+MD}{BK+KC}.$$

Но удобнее записать отношение в виде

$$\frac{AL}{BL}\cdot\frac{BK}{CK}\cdot\frac{CN}{AN}=\frac{AL}{BL}\cdot 1\cdot\frac{CN}{AN}.$$

Из подобия треугольников $$BLC$$ и $$ALD$$, а также $$K$$ — середина $$BC$$, получаем

$$\frac{AL}{BL}=\frac{AM}{BK}.$$

Тогда