Упр.854 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$BC \parallel AD$$. Обозначим через $$K$$ и $$M$$ середины оснований $$BC$$ и $$AD$$, через $$N$$ — точку пересечения диагоналей, через $$L$$ — точку пересечения продолжений боковых сторон $$AB$$ и $$DC$$.

Рассмотрим треугольник $$ALD$$. Так как $$BC \parallel AD$$, то

$$\angle DAB=\angle CBL,\qquad \angle ADC=\angle BCL,$$

следовательно, $$\triangle BLC \sim \triangle ALD$$.

Из подобия получаем

$$\frac{AL}{BL}=\frac{AD}{BC}.$$

Проведём в треугольнике $$ALD$$ медиану $$LM$$. Поскольку $$K$$ — середина $$BC$$, а $$BC \parallel AD$$, то прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника и параллельная другой стороне, делит третью сторону пополам. Значит, $$K$$ лежит на медиане $$LM$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$KNC$$ и $$ANM$$. У них

$$\angle KNC=\angle ANM$$ — вертикальные,

$$\angle KCN=\angle AMN$$ — накрест лежащие при $$BC \parallel AD$$.

Следовательно, $$\triangle KNC \sim \triangle ANM$$, откуда

$$\frac{CN}{AN}=\frac{KC}{AM}.$$

Так как $$K$$ — середина $$BC$$, то $$BK=KC$$. Тогда

$$\frac{AL}{BL}\cdot \frac{BK}{CK}\cdot \frac{CN}{AN} = \frac{AD}{BC}\cdot 1 \cdot \frac{KC}{AM}.$$

Но из подобия $$\triangle BLC \sim \triangle ALD$$ имеем также

$$\frac{AL}{BL}=\frac{AD}{BC},$$

а из равенства $$BK=KC$$ следует $$\frac{BK}{CK}=1$$. Поэтому

$$\frac{AL}{BL}\cdot \frac{BK}{CK}\cdot \frac{CN}{AN} = \frac{AD}{BC}\cdot \frac{KC}{AM} = 1.$$

По теореме Менелая для треугольника $$LAD$$ точки $$K$$, $$N$$ и $$M$$ лежат на одной прямой.