Упр.853 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На сторонах $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ треугольника $$ABC$$ или их продолжениях отмечены соответственно точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$, лежащие на одной прямой. Докажите, что точки $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$, симметричные соответственно точкам $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ относительно середин сторон $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$, также лежат на одной прямой.

Так как точки $$A_2,$$ $$B_2,$$ $$C_2$$ симметричны точкам $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ относительно середин сторон $$BC,$$ $$CA$$ и $$AB,$$ то

$$BA_2=CA_1,\qquad BA_1=CA_2,$$

$$BC_1=AC_2,\qquad BC_2=AC_1,$$

$$AB_2=CB_1,\qquad AB_1=CB_2.$$

Поскольку точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ лежат на одной прямой, по теореме Менелая для треугольника $$ABC$$ и секущей $$A_1B_1C_1$$ имеем

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1.$$

Подставим сюда равенства, полученные из симметрии:

$$\frac{AC_2}{BC_2}\cdot \frac{BA_2}{CA_2}\cdot \frac{CB_2}{AB_2} =\frac{BC_1}{AC_1}\cdot \frac{CA_1}{BA_1}\cdot \frac{AB_1}{CB_1}=1.$$

Следовательно, по теореме Менелая точки $$A_2,$$ $$B_2$$ и $$C_2$$ лежат на одной прямой.