Упр.853 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС или их продолжениях отмечены соответственно точки A_1, B_1 и C_1, лежащие на одной прямой. Докажите, что точки A_2, B_2 и C_2, симметричные соответственно точкам A_1, B_1 и C_1 относительно середин сторон ВС, СА и АВ, также лежат на одной прямой. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 atan10_11 new/853 106

Обозначим середины сторон $$BC,\ CA,\ AB$$ соответственно через точки, относительно которых выполняется симметрия. Тогда из определения центральной симметрии получаем:

$$BA_2=CA_1,\quad BA_1=CA_2,\quad BC_1=AC_2;$$

$$BC_2=AC_1,\quad AB_2=CB_1,\quad CB_2=AB_1.$$

Так как точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ лежат на одной прямой, применим теорему Менелая к треугольнику $$ABC$$ и секущей $$A_1B_1C_1$$:

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1.$$

Теперь подставим в это равенство соответствующие отрезки для симметричных точек:

$$\frac{AC_2}{BC_2}\cdot \frac{BA_2}{CA_2}\cdot \frac{CB_2}{AB_2} = \frac{BC_1}{AC_1}\cdot \frac{CA_1}{BA_1}\cdot \frac{AB_1}{CB_1}=1.$$

Следовательно, по обратной теореме Менелая точки $$A_2,\ B_2,\ C_2$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Точки $$A_2,\ B_2,\ C_2$$ лежат на одной прямой.