Упр.851 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы треугольника $$ABC$$, луч $$CC_1$$ — биссектриса его внешнего угла, причём точка $$C_1$$ лежит на прямой $$AB$$. Докажите, что точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.

По свойству биссектрисы треугольника имеем:

$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{AB}{AC}, \qquad \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{CB}{AB}.$$

Так как $$CC_1$$ — биссектриса внешнего угла треугольника $$ABC$$ при вершине $$C$$, то по свойству биссектрисы внешнего угла

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{AC}{CB}.$$

Перемножим полученные равенства:

$$\frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}\cdot \frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AB}{AC}\cdot \frac{CB}{AB}\cdot \frac{AC}{CB} =1.$$

Следовательно, по теореме Менелая для треугольника $$ABC$$ точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.

Ответ: точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ коллинеарны.