Упр.850 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В треугольнике $$ABC$$ со сторонами $$AB=c$$, $$BC=a$$ и $$CA=b$$ $$r$$ и $$R$$ — радиусы вписанной и описанной окружностей, $$S$$ — площадь, точка $$O$$ — центр описанной окружности, $$H$$ — точка пересечения высот, отрезки $$AD$$ и $$AM$$ — высота и медиана. Докажите, что:
а) $$a+b=4R\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{|A-B|}{2}$$;
б) $$|a-b|=4R\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{|A-B|}{2}$$;
в) $$\frac{|a-b|}{a+b}=\frac{\operatorname{tg}\frac{|A-B|}{2}}{\operatorname{tg}\frac{A+B}{2}}$$;
г) $$\frac{a^2-b^2}{c}=a\cos(B)-b\cos(A)$$;
д) $$a+b+c=8R\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$$;
е) $$\cos^2(A)=\sin^2(B)+\cos^2(C)-2\sin(A)\sin(B)\cos(C)$$;
ж) $$r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$$;
з) $$r=\frac{a\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\cos\frac{A}{2}}$$;
и) $$AH=\frac{a}{4S}(b^2+c^2-a^2)$$;
к) $$OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2$$;
л) $$DM=\frac{|b^2-c^2|}{2a}$$.
Обозначим стороны треугольника так: $$a=BC,\quad b=CA,\quad c=AB.$$ Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности, $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$S$$ — площадь треугольника.
а) По теореме синусов:
$$a=2R\sin A,\qquad b=2R\sin B.$$
Тогда
$$a+b=2R(\sin A+\sin B)=4R\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}.$$
б) Аналогично:
$$|a-b|=2R|\sin A-\sin B|=4R\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{|A-B|}{2}.$$
в) Делим равенство из пункта б) на равенство из пункта а):
$$\frac{|a-b|}{a+b} = \frac{4R\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{|A-B|}{2}}{4R\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{|A-B|}{2}} = \frac{\tg\frac{|A-B|}{2}}{\tg\frac{A+B}{2}}.$$
г) По теореме косинусов:
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,\qquad a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$
Вычитая, получаем
$$a^2-b^2=2ac\cos B-2bc\cos A,$$
откуда
$$\frac{a^2-b^2}{c}=2a\cos B-2b\cos A.$$
Следовательно,
$$\frac{a^2-b^2}{2c}=a\cos B-b\cos A.$$
д) Используем формулу
$$a+b+c=2R(\sin A+\sin B+\sin C).$$
Так как $$A+B+C=\pi$$, то
$$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} =2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2},$$
и потому
$$a+b+c=4R\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}.$$
е) Так как $$C=\pi-A-B$$, то $$\cos C=-\cos(A+B)$$. Тогда
$$\sin^2 B+\cos^2 C-2\sin A\sin B\cos C = \sin^2 B+\cos^2(A+B)+2\sin A\sin B\cos(A+B).$$
После раскрытия скобок и преобразований получаем
$$\sin^2 B+\cos^2 C-2\sin A\sin B\cos C=\cos^2 A.$$
ж) Из формулы площади:
$$S=pr,\qquad p=\frac{a+b+c}{2},$$
и из формулы Герона в тригонометрической форме
$$S=4R^2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\cdot \sin\frac{A+B+C}{2},$$
получаем стандартное соотношение
$$r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}.$$
з) Так как $$a=2R\sin A=4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$$, то
$$r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} = a\cdot \frac{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\cos\frac{A}{2}}.$$
и) Пусть $$D$$ — основание высоты $$AD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABD$$:
$$AH=AD\cdot \frac{AB}{\sin B}.$$
По теореме косинусов
$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},$$
а также
$$S=\frac12 ac\sin B.$$
Следовательно,
$$AH=\frac{b\cos A}{\sin B} =\frac{b(b^2+c^2-a^2)}{2c\sin B} =\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{4S}.$$
к) Из известной формулы для ортоцентра:
$$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2).$$
То есть
$$OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2.$$
л) Пусть $$D$$ — основание высоты из $$A$$, а $$M$$ — середина стороны $$BC$$. Тогда
$$BD=c\cos B,\qquad BM=\frac a2.$$
Если $$b>c$$, то
$$DM=BM-BD=\frac a2-c\cos B.$$
По теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,$$
откуда
$$c\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}.$$
Тогда
$$DM=\frac a2-\frac{a^2+c^2-b^2}{2a} =\frac{b^2-c^2}{2a}.$$
При $$b<c$$ аналогично получаем
$$DM=\frac{|b^2-c^2|}{2a}.$$
Ответ
а) $$a+b=4R\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{|A-B|}{2}$$;
б) $$|a-b|=4R\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{|A-B|}{2}$$;
в) $$\dfrac{|a-b|}{a+b}=\dfrac{\tg\frac{|A-B|}{2}}{\tg\frac{A+B}{2}}$$;
г) $$\dfrac{a^2-b^2}{2c}=a\cos B-b\cos A$$;
д) $$a+b+c=4R\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2$$;
е) $$\cos^2 A=\sin^2 B+\cos^2 C-2\sin A\sin B\cos C$$;
ж) $$r=4R\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2$$;
з) $$r=\dfrac{a\sin\frac B2\sin\frac C2}{\cos\frac A2}$$;
и) $$AH=\dfrac{a(b^2+c^2-a^2)}{4S}$$;
к) $$OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2$$;
л) $$DM=\dfrac{|b^2-c^2|}{2a}$$.
