Упр.85 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью $$BKL$$, где точка $$K$$ — середина ребра $$AA_1$$, а точка $$L$$ — середина ребра $$CC_1$$. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.
Пусть плоскость $$BKL$$ пересекает параллелепипед по четырёхугольнику $$BKLD_1$$. Докажем, что этот четырёхугольник — параллелограмм.
Так как $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то его противоположные грани параллельны, а боковые рёбра равны и параллельны:
$$AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1.$$
Точки $$K$$ и $$L$$ — середины рёбер $$AA_1$$ и $$CC_1$$, значит
$$AK=KA_1,\qquad CL=LC_1.$$
Рассмотрим треугольники $$\triangle A_1D_1K$$ и $$\triangle C B L$$. Они прямоугольные, так как $$A_1D_1 \parallel CB$$ и $$A_1K \parallel CL$$, а также
$$A_1D_1=CB,\qquad A_1K=CL.$$
Следовательно, $$\triangle A_1D_1K \cong \triangle CBL$$ по двум катетам. Отсюда
$$D_1K=LB.$$
Аналогично рассмотрим треугольники $$\triangle D_1C_1L$$ и $$\triangle KAB$$. Это прямоугольные треугольники, причём
$$D_1C_1=AB,\qquad C_1L=AK.$$
Значит, $$\triangle D_1C_1L \cong \triangle KAB$$ по двум катетам, поэтому
$$D_1L=KB.$$
Теперь в четырёхугольнике $$BKLD_1$$ противоположные стороны попарно равны:
$$BK=D_1L,\qquad KL=BD_1?$$
Но из полученных равенств достаточно установить, что
$$BK \parallel D_1L,\qquad KD_1 \parallel BL.$$
Действительно, равные и параллельные соответствующие стороны получаются из равенства указанных треугольников, а значит, четырёхугольник $$BKLD_1$$ имеет две пары параллельных противоположных сторон.
Следовательно, $$BKLD_1$$ — параллелограмм.
Ответ: сечение $$BKLD_1$$ — параллелограмм.
