Упр.849 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Отрезки AD, AH и AM — биссектриса, высота и медиана треугольника ABC, вписанная в треугольник окружность касается стороны BC в точке K. Докажите, что $$MK^2=MD\cdot MH$$.

Обозначим $$AB=c,\quad AC=b,\quad BC=a.$$ Тогда $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр треугольника.

Пусть вписанная окружность касается сторон $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$K_1$$ и $$K_2$$ соответственно. Тогда по свойству касательных из одной точки

$$BK=BK_1,\quad CK=CK_2,\quad AK_1=AK_2.$$

Следовательно,

$$BK+CK+AK_1=\frac{a+b+c}{2}=p,$$

откуда

$$CK=p-(BK_1+AK_1)=p-c.$$

Так как $$AM$$ — медиана, то

$$BM=MC=\frac{a}{2}.$$

Тогда

$$MK=KC-MC=p-c-\frac{a}{2}=\frac{a+b+c}{2}-c-\frac{a}{2}=\frac{b-c}{2}.$$

По свойству биссектрисы треугольника

$$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD},$$

то есть

$$\frac{c}{BD}=\frac{b}{a-BD}.$$

Отсюда

$$b\cdot BD=c(a-BD),$$

$$(b+c)BD=ac,$$

$$BD=\frac{ac}{b+c}.$$

Тогда

$$CD=BC-BD=a-\frac{ac}{b+c}=\frac{ab}{b+c}.$$

Следовательно,

$$MD=CD-MC=\frac{ab}{b+c}-\frac{a}{2}=\frac{a(b-c)}{2(b+c)}.$$

Теперь найдём $$MH$$. В прямоугольном треугольнике $$ACH$$ имеем

$$CH^2=AC^2-AH^2=b^2-c^2.$$

Так как $$AH$$ — высота, а $$BC=a$$ и $$BH+CH=a,$$ то

$$(CH-BH)(CH+BH)=b^2-c^2,$$

$$a(2CH-a)=b^2-c^2,$$

$$CH=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}.$$

Тогда

$$MH=CH-MC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}-\frac{a}{2}=\frac{b^2-c^2}{2a}.$$

Перемножим найденные выражения:

$$MH\cdot MD=\frac{b^2-c^2}{2a}\cdot \frac{a(b-c)}{2(b+c)}=\frac{(b-c)(b+c)}{2}\cdot \frac{(b-c)}{2(b+c)}=\frac{(b-c)^2}{4}.$$

Но

$$MK^2=\left(\frac{b-c}{2}\right)^2=\frac{(b-c)^2}{4}.$$

Значит,

$$MK^2=MD\cdot MH.$$

Ответ: $$MK^2=MD\cdot MH.$$