Упр.848 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что:
а) площадь $$S$$ четырёхугольника со сторонами $$a, b, c, d$$, описанного около окружности, выражается формулой $$S=\sqrt{abcd}\sin\frac{B+D}{2}$$;
б) если четырёхугольник со сторонами $$a, b, c, d$$ является одновременно описанным и вписанным, то его площадь $$S$$ выражается формулой $$S=\sqrt{abcd}$$.
а) Так как четырёхугольник $$ABCD$$ описан около окружности, то суммы противоположных сторон равны:
$$a+c=b+d.$$
Обозначим полупериметр четырёхугольника через $$p$$. Тогда
$$p=\frac{a+b+c+d}{2}=a+c=b+d.$$
По формуле для площади описанного четырёхугольника:
$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}}.$$
Подставим значения:
$$p-a=c,\quad p-b=d,\quad p-c=a,\quad p-d=b.$$
Тогда
$$S=\sqrt{cd\cdot ab-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}} =\sqrt{abcd\left(1-\cos^2\frac{B+D}{2}\right)}.$$
Так как $$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$, получаем
$$S=\sqrt{abcd}\,\sin\frac{B+D}{2}.$$
б) Если четырёхугольник одновременно описан около окружности и вписан в окружность, то
$$\angle B+\angle D=180^\circ,$$
следовательно,
$$\sin\frac{B+D}{2}=\sin 90^\circ=1.$$
Тогда из пункта а) имеем
$$S=\sqrt{abcd}.$$
Ответ: а) $$S=\sqrt{abcd}\,\sin\frac{B+D}{2}$$; б) $$S=\sqrt{abcd}$$.
