Упр.847 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что:
а) квадрат площади $$S$$ выпуклого четырёхугольника со сторонами $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ и полупериметром $$p$$ выражается формулой $$S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}$$;
б) площадь $$S$$ вписанного четырёхугольника выражается формулой $$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$; исходя из этой формулы, получите формулу Герона для площади треугольника.

Подробный ответ

Построим диагональ $$AC$$. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей треугольников:

$$S=S_{ABC}+S_{ACD}=\frac12ab\sin B+\frac12cd\sin D.$$

Отсюда

$$S^2=\frac14\left(a^2b^2\sin^2 B+c^2d^2\sin^2 D+2abcd\sin B\sin D\right).$$

По теореме косинусов в треугольниках $$ABC$$ и $$ACD$$ имеем:

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2-2cd\cos D,$$

значит

$$ab\cos B=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2}+cd\cos D.$$

Подставим это в выражение для $$S^2$$ и преобразуем:

$$\begin{aligned} S^2&=\frac14\left(a^2b^2-a^2b^2\cos^2 B+c^2d^2-c^2d^2\cos^2 D+2abcd\sin B\sin D\right)\\ &=\frac14\left(\frac{(2ab+2cd)^2-(c^2+d^2-a^2-b^2)^2}{4}-4abcd\cos^2\frac{B+D}{2}\right). \end{aligned}$$

Так как

$$(2ab+2cd)^2-(c^2+d^2-a^2-b^2)^2$$
$$=\bigl((a+b)^2-(c-d)^2\bigr)\bigl((c+d)^2-(a-b)^2\bigr),$$

то

$$S^2=\frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)}{16}-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}.$$

Обозначив $$p=\dfrac{a+b+c+d}{2}$$, получаем

$$S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}.$$

Если четырёхугольник вписанный, то $$\angle B+\angle D=180^\circ$$, следовательно

$$\cos\frac{B+D}{2}=\cos 90^\circ=0.$$

Тогда

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$

Для треугольника это и есть формула Герона: если одна сторона равна нулю, например $$d=0$$, то

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$