Упр.847 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что: а) квадрат площади S выпуклого четырёхугольника со сторонами а, b, с, d и полупериметром р выражается формулой S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd cos^2(B+D)/2; б) площадь S вписанного четырёхугольника выражается формулой S=v((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)); исходя из этой формулы, получите формулу Герона для площади треугольника.

Проведём диагональ $$AC$$. Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ распадается на два треугольника:

$$S=S_{ABC}+S_{ACD}=\frac12ab\sin B+\frac12cd\sin D.$$

Возведём это равенство в квадрат:

$$ S^2=\frac14\left(a^2b^2\sin^2 B+c^2d^2\sin^2 D+2abcd\sin B\sin D\right). $$

По теореме косинусов в треугольниках $$ABC$$ и $$ACD$$ имеем:

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B,$$
$$AC^2=c^2+d^2-2cd\cos D.$$

Следовательно,

$$ab\cos B=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2}+cd\cos D.$$

Подставим это выражение в формулу для $$S^2$$ и преобразуем:

$$ \begin{aligned} S^2&=\frac14\left(a^2b^2-a^2b^2\cos^2 B+c^2d^2\sin^2 D+2abcd\sin B\sin D\right)\\ &=\frac14\left(a^2b^2-\left(\frac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2}\right)^2-c^2d^2\cos^2 D\right.\\ &\qquad\left.+cd\cos D\,(c^2+d^2-a^2-b^2)+c^2d^2+2abcd\sin B\sin D\right). \end{aligned} $$

После группировки слагаемых получаем:

$$ S^2=\frac14\left(\frac{(2ab+2cd)^2-(c^2+d^2-a^2-b^2)^2}{4}-4abcd\cos^2\frac{B+D}{2}\right). $$

Так как

$$ (2ab+2cd)^2-(c^2+d^2-a^2-b^2)^2 $$

раскладывается на множители, то

$$ S^2=\frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)}{16}-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}. $$

Обозначая $$p=\frac{a+b+c+d}{2}$$, получаем

$$ S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}. $$

Это и требовалось доказать.

Если четырёхугольник $$ABCD$$ вписанный, то $$\angle B+\angle D=180^\circ$$, значит

$$ \cos\frac{B+D}{2}=\cos 90^\circ=0. $$

Тогда из полученной формулы следует:

$$ S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), $$

то есть

$$ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}. $$

Для треугольника положим $$d=0$$. Тогда $$p=\frac{a+b+c}{2}$$, и формула принимает вид

$$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, $$

что и есть формула Герона.

Ответ

$$ S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}, $$
$$ S_{\text{впис. четыр.}}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}, $$
$$ S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. $$