Упр.846 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что площадь S выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, с, d и полупериметром р выражается формулой S=r_a(p-a)+r_c(p-c), где r_a и r_c — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с (рис. 218).

Обозначим точки касания вневписанных окружностей со сторонами четырёхугольника так, как на рисунке. Тогда из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

$$AT=AM,\quad DT=DN,\quad BQ=BK,\quad CL=CQ.$$

Пусть $$AT=AM=k,$$ тогда $$DT=DN=a-k.$$

Пусть $$BQ=BK=l,$$ тогда $$CL=CQ=c-l.$$

Так как отрезки $$KM$$ и $$LN$$ являются общими касательными к двум окружностям, то

$$KM=AT+AB+BK=k+b+l,$$

$$LN=DT+DC+CL=(a-k)+d+(c-l).$$

Но $$KM=LN,$$ значит

$$k+b+l=(a-k)+d+(c-l),$$

откуда

$$2k+2l=a-b+c+d,$$

$$k+l=\frac{a-b+c+d}{2}=p-b.$$

Следовательно,

$$KM=k+b+l=p.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$O_1MKO_2.$$ Его можно разбить на два прямоугольных трапеции, поэтому

$$S_{O_1MKO_2LN}=S_{O_1MKO_2}+S_{O_1O_2LN}.$$

Так как высота каждой из этих трапеций равна соответствующему радиусу, то

$$S_{O_1MKO_2LN}=\frac12\cdot MK\cdot r_a+\frac12\cdot LN\cdot r_c.$$

Поскольку $$MK=LN=p,$$ получаем

$$S_{O_1MKO_2LN}=p(r_a+r_c).$$

Теперь найдём площади частей, прилегающих к сторонам $$a$$ и $$c$$:

$$S_{O_1MADN}=S_{O_1AT}+S_{O_1TD}=r_a k+r_a(a-k)=r_a a,$$

$$S_{BKO_2LC}=S_{BK O_2}+S_{LC O_2}=r_c l+r_c(c-l)=r_c c.$$

Тогда площадь четырёхугольника $$ABCD$$ равна разности:

$$S=S_{O_1MKO_2LN}-S_{O_1MADN}-S_{BKO_2LC}$$

$$=p(r_a+r_c)-r_a a-r_c c$$

$$=r_a(p-a)+r_c(p-c).$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$S=r_a(p-a)+r_c(p-c).$$