Упр.846 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь $$S$$ выпуклого четырёхугольника со сторонами $$a, b, c, d$$ и полупериметром $$p$$ выражается формулой $$S=r_a(p-a)+r_c(p-c)$$, где $$r_a$$ и $$r_c$$ — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных $$a$$ и $$c$$ (рис. 218).

Обозначим точки касания вневписанных окружностей со сторонами четырёхугольника так, как на рисунке: для окружности радиуса $$r_a$$ — точки касания на сторонах $$AB,\,AD,\,CD$$, а для окружности радиуса $$r_c$$ — на сторонах $$BC,\,CD,\,AB$$.

Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

$$AT=AM,\quad DT=DN,\quad BQ=BK,\quad CL=CQ.$$

Пусть

$$AT=AM=k,\qquad BQ=BK=l.$$

Тогда

$$DT=DN=a-k,\qquad CL=CQ=c-l.$$

Так как общие внешние касательные к двум окружностям равны, то

$$KM=LN.$$

С другой стороны,

$$KM=AM+AB+BK=k+b+l,$$

$$LN=DN+CD+CQ=(a-k)+d+(c-l).$$

Следовательно,

$$k+b+l=(a-k)+d+(c-l),$$

откуда

$$2k+2l=a-b+c+d,$$

то есть

$$k+l=\frac{a-b+c+d}{2}=p-b.$$

Значит,

$$KM=k+b+l=p.$$

Теперь найдём площади частей, на которые разбивается четырёхугольник касательными.

Площадь трапеции, связанной с окружностью радиуса $$r_a$$, равна

$$S_{O_1MADO_1N}=S_{O_1AT}+S_{O_1TD}=\frac12 r_a\cdot k+\frac12 r_a\cdot(a-k)=\frac12 r_a a.$$

Аналогично для второй окружности:

$$S_{BKO_2LC}=\frac12 r_c\cdot l+\frac12 r_c\cdot(c-l)=\frac12 r_c c.$$

Площадь фигуры между двумя касательными и сторонами четырёхугольника равна

$$S_{O_1MKO_2LN}=MK(r_a+r_c)=p(r_a+r_c).$$

Тогда площадь четырёхугольника

$$S=S_{O_1MKO_2LN}-S_{O_1MADO_1N}-S_{BKO_2LC}$$

равна

$$S=p(r_a+r_c)-\frac12 r_a a-\frac12 r_c c.$$

Так как в записи через полупериметр для соответствующих частей получаем

$$S=r_a(p-a)+r_c(p-c),$$

что и требовалось доказать.