Упр.845 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
б) S=v(rr_ar_br_c), 1/r_a+1/r_b+1/r_c=1/r, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник, r_a, r_b, r_c — радиусы вневписанных окружностей.
Обозначим стороны треугольника так: $$BC=a,$$ $$CA=b,$$ $$AB=c,$$ а полупериметр — $$p=\frac{a+b+c}{2}.$$
а) Пусть $$O$$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $$BC$$ и продолжений сторон $$AB$$ и $$AC$$. Обозначим точки касания через $$P$$, $$T$$ и $$H$$ соответственно.
Из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:
$$AP=AT,\quad BP=BH,\quad CH=CT.$$
Пусть $$BP=BH=k.$$ Тогда
$$AP=AB+BP=c+k,$$
$$AT=AC+CT=b+(a-k)=b+a-k.$$
Так как $$AP=AT,$$ то
$$c+k=b+a-k,$$
откуда
$$2k=a+b-c,$$
$$k=\frac{a+b-c}{2}=p-c.$$
Тогда
$$AT=AP=c+k=c+p-c=p,$$
а также
$$CT=a-k=a-(p-c).$$
Площадь треугольника $$ABC$$ равна разности площадей треугольников $$AOT$$ и $$BOC$$-подобных частей, удобнее записать так:
$$S_{AOT}=\frac12 r_a\cdot AT+\frac12 r_a\cdot AT=r_ap,$$
$$S_{BOC T}=S_{OBP}+S_{BOH}+S_{OHC}+S_{OCT}=r_a a.$$
Следовательно,
$$S_{ABC}=S_{AOT}-S_{BOCT}=r_ap-r_a a=r_a(p-a).$$
б) Из пункта а) имеем:
$$S=r_a(p-a).$$
Аналогично для других вневписанных окружностей:
$$S=r_b(p-b),\qquad S=r_c(p-c).$$
Кроме того, для вписанной окружности:
$$S=pr,$$
где $$r$$ — радиус вписанной окружности.
Тогда
$$p-a=\frac{S}{r_a},\qquad p-b=\frac{S}{r_b},\qquad p-c=\frac{S}{r_c},\qquad p=\frac{S}{r}.$$
Сложим три равенства:
$$\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{S}.$$
Так как
$$ (p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-(a+b+c)=3p-2p=p, $$
то
$$\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{p}{S}=\frac{1}{r}.$$
Теперь найдём площадь:
$$S^2=pr\cdot r_a(p-a)\cdot r_b(p-b)\cdot r_c(p-c).$$
Но из равенств $$p-a=\frac{S}{r_a},$$ $$p-b=\frac{S}{r_b},$$ $$p-c=\frac{S}{r_c}$$ получаем
$$S^2=pr\cdot \frac{S}{r_a}\cdot \frac{S}{r_b}\cdot \frac{S}{r_c}.$$
Сокращая на $$S^2,$$ имеем
$$S=\sqrt{rr_ar_br_c}.$$
Ответ
$$S=r_a(p-a),\qquad S=\sqrt{rr_ar_br_c},\qquad \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}.$$