Упр.845 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной. Докажите, что:
а) площадь $$S$$ треугольника $$ABC$$ выражается формулой $$S=r_a(p-a)$$, где $$r_a$$ — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $$BC=a$$, $$p$$ — полупериметр треугольника;
б) $$S=\sqrt{rr_ar_br_c}$$, $$\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}$$, где $$r$$ — радиус окружности, вписанной в треугольник, $$r_a$$, $$r_b$$, $$r_c$$ — радиусы вневписанных окружностей.
Пусть $$O$$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $$BC=a$$, а также продолжений сторон $$AB=c$$ и $$AC=b$$.
а)
Обозначим точки касания окружности со сторонами и их продолжениями через $$P$$, $$T$$ и $$H$$ соответственно. Тогда из свойства касательных, проведённых из одной точки, имеем:
$$AP=AT,\quad BP=BH,\quad CH=CT.$$
Пусть $$BP=BH=k$$. Тогда
$$AP=AT=c+k,$$
а также
$$AT=AC+CT=b+(a-k).$$
Следовательно,
$$c+k=b+a-k,$$
откуда
$$2k=a+b-c,$$
$$k=\frac{a+b-c}{2}=p-c,$$
где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр треугольника.
Тогда
$$AT=AP=c+k=c+p-c=p,$$
$$CT=a-k=a-(p-c)=a-p+c.$$
Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$ как разность площадей:
$$S_{ABC}=S_{AOT}-S_{OBCT}.$$
Так как $$O$$ — центр окружности, то
$$S_{AOT}=\frac12 r_a\cdot AT+\frac12 r_a\cdot AT=r_a p,$$
а
$$S_{OBCT}= \frac12 r_a\cdot BP+\frac12 r_a\cdot BH+\frac12 r_a\cdot CH+\frac12 r_a\cdot CT=r_a k+r_a(a-k)=r_a a.$$
Значит,
$$S_{ABC}=r_a p-r_a a=r_a(p-a).$$
б)
По формуле из пункта а) получаем:
$$S_{ABC}=r_a(p-a)=r_b(p-b)=r_c(p-c).$$
Кроме того, для вписанной окружности
$$S_{ABC}=pr,$$
где $$r$$ — её радиус.
Тогда
$$p-a=\frac{S_{ABC}}{r_a},\quad p-b=\frac{S_{ABC}}{r_b},\quad p-c=\frac{S_{ABC}}{r_c},\quad p=\frac{S_{ABC}}{r}.$$
По формуле Герона:
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$
Подставим выражения через радиусы:
$$S_{ABC}=\sqrt{\frac{S_{ABC}}{r}\cdot \frac{S_{ABC}}{r_a}\cdot \frac{S_{ABC}}{r_b}\cdot \frac{S_{ABC}}{r_c}}.$$
Отсюда
$$S_{ABC}=\sqrt{rr_ar_br_c}.$$
Теперь найдём сумму обратных радиусов:
$$\frac1{r_a}+\frac1{r_b}+\frac1{r_c}=\frac{p-a}{S_{ABC}}+\frac{p-b}{S_{ABC}}+\frac{p-c}{S_{ABC}}.$$
Так как $$(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-(a+b+c)=3p-2p=p,$$ то
$$\frac1{r_a}+\frac1{r_b}+\frac1{r_c}=\frac{p}{S_{ABC}}=\frac1r.$$
Ответ: $$S_{ABC}=r_a(p-a),\quad S_{ABC}=\sqrt{rr_ar_br_c},\quad \frac1{r_a}+\frac1{r_b}+\frac1{r_c}=\frac1r.$$
