Упр.844 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Окружность, вписанная в треугольник $$ABC$$, касается его сторон в точках $$L$$, $$M$$ и $$N$$. Докажите, что отношение площади треугольника $$LMN$$ к площади треугольника $$ABC$$ равно отношению радиуса окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, к диаметру окружности, описанной около этого треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности, $$r$$ — её радиус, $$R$$ — радиус описанной окружности.

Тогда $$OL=OM=ON=r$$.

Рассмотрим треугольник $$LOM$$. Так как угол между радиусами, проведёнными в точки касания со сторонами $$AB$$ и $$AC$$, равен

$$\angle LOM=180^\circ-\angle A,$$

то

$$S_{LOM}=\frac12\cdot OL\cdot OM\cdot \sin\angle LOM =\frac12 r^2\sin(180^\circ-\angle A) =\frac12 r^2\sin\angle A.$$

С другой стороны,

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle A.$$

Значит,

$$\frac{S_{LOM}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{AB\cdot AC}.$$

Аналогично получаем:

$$\frac{S_{MON}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{AC\cdot BC},\qquad \frac{S_{NOL}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{BA\cdot BC}.$$

Складывая, имеем

$$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} =\frac{S_{LOM}+S_{MON}+S_{NOL}}{S_{ABC}} =r^2\left(\frac1{AB\cdot AC}+\frac1{AC\cdot BC}+\frac1{BA\cdot BC}\right).$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} =\frac{r^2(AB+BC+CA)}{AB\cdot BC\cdot CA}.$$

Но для любого треугольника

$$S_{ABC}=pr,\qquad p=\frac{AB+BC+CA}{2},$$

а также

$$S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}.$$

Тогда

$$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} =\frac{r^2(AB+BC+CA)}{AB\cdot BC\cdot CA} =\frac{2r}{AB\cdot BC\cdot CA}\cdot S_{ABC} =\frac{2r}{AB\cdot BC\cdot CA}\cdot \frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R} =\frac{r}{2R}.$$

Следовательно,

$$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}}=\frac{r}{2R}.$$

Ответ: $$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}}=\frac{r}{2R}$$.