Упр.843 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 9 см, 12 см и 15 см.

Обозначим через $$S_m$$ площадь треугольника, стороны которого равны медианам данного треугольника: $$9$$ см, $$12$$ см и $$15$$ см.

Найдём его площадь по формуле Герона. Полупериметр:

$$p=\frac{9+12+15}{2}=18.$$

Тогда

$$S_m=\sqrt{p(p-9)(p-12)(p-15)} =\sqrt{18\cdot 9\cdot 6\cdot 3} =\sqrt{2916}=54.$$

Из свойства треугольника, составленного из медиан, известно, что

$$S_{ABC}=\frac{4}{3}S_m.$$

Следовательно,

$$S_{ABC}=\frac{4}{3}\cdot 54=72.$$

Ответ: $$72\text{ см}^2$$.