Упр.842 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см.

Подробный ответ

Пусть стороны треугольника $$ABC$$ равны $$BC=a$$, $$AB=c$$, $$AC=b$$, а высоты, опущенные на эти стороны, равны соответственно $$h_a=4$$ см, $$h_b=3$$ см, $$h_c=6$$ см.

Площадь треугольника можно выразить через любую из сторон и соответствующую высоту:

$$S_{ABC}=\frac12 ah_a=\frac12 bh_b=\frac12 ch_c.$$

Отсюда

$$4a=3b=6c.$$

Тогда

$$b=\frac43a,\qquad c=\frac23a.$$

Найдём полупериметр:

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac12\left(a+\frac43a+\frac23a\right)=\frac{3a}{2}.$$

Тогда

$$p-a=\frac{a}{2},\qquad p-b=\frac{3a}{2}-\frac43a=\frac{a}{6},\qquad p-c=\frac{3a}{2}-\frac23a=\frac{5a}{6}.$$

По формуле Герона:

$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =\sqrt{\frac{3a}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{6}\cdot\frac{5a}{6}} =\sqrt{\frac{15a^4}{144}} =\frac{a^2\sqrt{15}}{12}. $$

С другой стороны, из формулы площади через сторону $$a$$ и высоту $$h_a$$ имеем:

$$S_{ABC}=\frac12 ah_a=2a.$$

Приравниваем полученные выражения:

$$2a=\frac{a^2\sqrt{15}}{12}.$$

Так как $$a>0$$, получаем

$$a=\frac{24}{\sqrt{15}}.$$

Тогда площадь:

$$ S_{ABC}=2a=2\cdot\frac{24}{\sqrt{15}}=\frac{48}{\sqrt{15}}=\frac{16\sqrt{15}}{5}. $$