Упр.841 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник, и найдите отношение его площади к площади данного треугольника.

Подробный ответ

Пусть медианы $$AL,$$ $$CK$$ и $$BN$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Продолжим медиану $$BN$$ за точку $$N$$ до точки $$T$$ так, чтобы $$NT=MN$$.

Тогда точки $$M,N,T$$ лежат на одной прямой, а точки $$A,M,C$$ — на одной прямой. Рассмотрим треугольники $$\triangle AMN$$ и $$\triangle CNT$$.

Имеем:

$$MN=NT,$$

$$\angle ANM=\angle CNT$$ — вертикальные углы,

$$AN=NC$$ — так как $$BN$$ является медианой.

Следовательно, $$\triangle AMN \cong \triangle CNT$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AM=CT.$$

Так как точка $$M$$ — точка пересечения медиан, то она делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит,

$$BM=2MN,\qquad CM=2MK,\qquad AM=2MT.$$

Но $$MT=MN+NT=2MN,$$ поэтому

$$AM=2MT=4MN,$$

а из равенства $$AM=CT$$ получаем

$$CT=4MN.$$

Теперь сравним площади треугольников $$\triangle CMT$$ и $$\triangle ABC$$.

Так как $$CN$$ — медиана треугольника $$CMT$$, то

$$S_{CMT}=2S_{CMN}.$$

Кроме того, $$BM=2MN$$, значит треугольники $$\triangle BMC$$ и $$\triangle CMN$$ имеют общую высоту из $$C$$ к прямой $$BN$$, поэтому

$$S_{BMC}=2S_{CMN}.$$

Так как $$BN$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то

$$S_{ABC}=2S_{BNC}=2\bigl(S_{BMC}+S_{CMN}\bigr)=2(2S_{CMN}+S_{CMN})=6S_{CMN}.$$

Следовательно,

$$\frac{S_{CMT}}{S_{ABC}}=\frac{2S_{CMN}}{6S_{CMN}}=\frac13.$$

Треугольник, составленный из медиан, подобен треугольнику $$CMT$$ с коэффициентом подобия $$\frac32$$, поэтому отношение его площади к площади $$\triangle ABC$$ равно

$$\left(\frac32\right)^2\cdot \frac13=\frac34.$$

Ответ: $$3:4$$.