Упр.841 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник, и найдите отношение его площади к площади данного треугольника.

Обозначим точки пересечения медиан так: пусть $$M=AL\cap CK$$, а прямую $$BN$$ продолжим за точку $$N$$ до точки $$T$$ так, чтобы $$NT=MN$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ANM$$ и $$\triangle CNT$$. Имеем:

$$MN=NT,$$

$$\angle ANM=\angle CNT$$ — вертикальные,

$$AN=NC$$, так как $$BN$$ — медиана треугольника $$ABC$$.

Следовательно, $$\triangle ANM \cong \triangle CNT$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AM=CT.$$

Так как точка $$M$$ — точка пересечения медиан, то каждая медиана делится ею в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит,

$$CM=\frac{2}{3}CK,\qquad AM=\frac{2}{3}AL,\qquad BM=\frac{2}{3}BN.$$

Из равенства $$AM=CT$$ получаем, что в треугольнике $$CMT$$ стороны равны

$$CM=\frac{2}{3}CK,\qquad CT=\frac{2}{3}AL,\qquad MT=MN+NT=2MN.$$

Но в треугольнике, составленном из медиан, соответствующие стороны равны

$$CK,\ AL,\ BN,$$

а в треугольнике $$CMT$$ —

$$\frac{2}{3}CK,\ \frac{2}{3}AL,\ \frac{2}{3}BN.$$

Значит, треугольник, составленный из медиан, подобен треугольнику $$CMT$$ с коэффициентом подобия

$$k=\frac{3}{2}.$$

Тогда отношение площадей этих треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{\text{мед}}}{S_{CMT}}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}.$$

С другой стороны, из построения и свойств медиан:

$$S_{CMT}=2S_{CNM},$$

$$S_{BNC}=2S_{CNM},$$

$$S_{ABC}=2S_{BNC}=6S_{CNM}=3S_{CMT}.$$

Следовательно,

$$\frac{S_{\text{мед}}}{S_{ABC}}=\frac{S_{\text{мед}}}{S_{CMT}}\cdot\frac{S_{CMT}}{S_{ABC}}=\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{3}{4}.$$

Значит, из медиан можно построить треугольник, а отношение его площади к площади данного треугольника равно $$3:4$$.

Ответ

$$3:4$$