Упр.840 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Внутри треугольника $$ABC$$ взята точка $$M$$. Докажите, что площади треугольников $$BAM$$ и $$BCM$$ равны тогда и только тогда, когда точка $$M$$ лежит на медиане треугольника $$ABC$$, проведённой из вершины $$B$$.
Пусть $$D$$ — точка пересечения прямой $$BM$$ с прямой $$AC$$.
Докажем сначала прямое утверждение. Если $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$AD=DC$$. Опустим из точки $$M$$ перпендикуляр $$MH$$ на прямую $$AC$$. Тогда треугольники $$AMD$$ и $$CMD$$ имеют общую высоту $$MH$$, поэтому
$$S_{AMD}=\frac12\cdot AD\cdot MH,\qquad S_{CMD}=\frac12\cdot DC\cdot MH.$$
Так как $$AD=DC$$, то $$S_{AMD}=S_{CMD}$$.
Кроме того, треугольники $$ABM$$ и $$BCM$$ состоят соответственно из треугольников $$ABD$$ и $$AMD$$, а также $$CBD$$ и $$CMD$$, значит
$$S_{ABM}=S_{ABD}-S_{AMD},\qquad S_{BCM}=S_{BCD}-S_{CMD}.$$
Но при $$AD=DC$$ треугольники $$ABD$$ и $$BCD$$ имеют равные основания и общую высоту из вершины $$B$$, следовательно, $$S_{ABD}=S_{BCD}$$. Тогда
$$S_{ABM}=S_{ABD}-S_{AMD}=S_{BCD}-S_{CMD}=S_{BCM}.$$
Теперь докажем обратное. Пусть $$S_{ABM}=S_{BCM}$$. Тогда, используя формулу площади через две стороны и синус угла между ними, получаем
$$S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot BM\cdot \sin\angle ABM,$$
$$S_{BCM}=\frac12\cdot BC\cdot BM\cdot \sin\angle CBM.$$
Так как точки $$B, M, D$$ лежат на одной прямой, то $$\angle ABM=\angle ABD$$ и $$\angle CBM=\angle CBD$$. Поэтому
$$AB\cdot \sin\angle ABD=BC\cdot \sin\angle CBD.$$
Рассмотрим теперь треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$. Их площади равны:
$$S_{ABD}=\frac12\cdot BD\cdot AB\cdot \sin\angle ABD,$$
$$S_{CBD}=\frac12\cdot BD\cdot BC\cdot \sin\angle CBD.$$
Из равенства предыдущих выражений следует, что $$S_{ABD}=S_{CBD}$$. Эти треугольники имеют общую высоту из вершины $$B$$ к прямой $$AC$$, значит их основания равны:
$$AD=DC.$$
Следовательно, $$D$$ — середина отрезка $$AC$$, а значит, $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Так как $$D\in BM$$, то точка $$M$$ лежит на медиане, проведённой из вершины $$B$$.
Итак, $$S_{ABM}=S_{BCM}$$ тогда и только тогда, когда точка $$M$$ лежит на медиане треугольника $$ABC$$, проведённой из вершины $$B$$.
