Упр.84 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $$B_1$$, $$D_1$$ и середину ребра $$CD$$. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Пусть $$M$$ — середина ребра $$CD$$. Через точку $$M$$ проведём прямую $$MN$$, параллельную $$B_1D_1$$, и обозначим через $$N$$ точку её пересечения с ребром $$B_1C_1$$. Соединим $$B_1$$ с $$N$$ и $$D_1$$ с $$M$$.

Тогда четырёхугольник $$B_1D_1MN$$ — искомое сечение.

Докажем, что это трапеция. По построению $$B_1D_1 \parallel MN$$. Остаётся показать, что боковые стороны $$B_1N$$ и $$D_1M$$ не параллельны. Если бы они были параллельны, то через точки $$B_1$$ и $$D_1$$ проходили бы две параллельные прямые, что невозможно, так как прямые $$B_1N$$ и $$D_1M$$ пересекаются в точке $$E$$ на продолжениях соответствующих рёбер построения сечения.

Следовательно, у четырёхугольника $$B_1D_1MN$$ одна пара противоположных сторон параллельна, значит, это трапеция.