Упр.839 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ высота $$BH$$ проведена к стороне $$AC$$, а $$R$$ — радиус описанной окружности. Обозначим $$BC=a$$, $$AB=c$$, $$AC=b$$.

По теореме синусов для треугольника $$ABC$$ имеем:

$$\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R.$$

Тогда

$$a=2R\sin \angle A,\qquad c=2R\sin \angle C.$$

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac12 ac\sin \angle B$$

и

$$S_{ABC}=\frac12 b\cdot BH.$$

Приравнивая эти выражения, получаем:

$$\frac12 ac\sin \angle B=\frac12 b\cdot BH,$$

откуда

$$ac\sin \angle B=b\cdot BH.$$

Но по теореме синусов

$$\frac{b}{\sin \angle B}=2R,$$

значит

$$\sin \angle B=\frac{b}{2R}.$$

Подставим это в равенство $$ac\sin \angle B=b\cdot BH$$:

$$ac\cdot \frac{b}{2R}=b\cdot BH.$$

Сокращая на $$b$$, получаем

$$ac=2R\cdot BH.$$

Так как $$2R$$ — это диаметр описанной окружности, то

$$AB\cdot BC=D_{\text{окр}}\cdot BH.$$

Что и требовалось доказать.