Упр.838 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Биссектрисы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ со сторонами $$AB=c$$, $$BC=a$$ и $$CA=b$$ пересекаются в точке $$O$$.
а) Найдите отношения $$\frac{AO}{OA_1}$$, $$\frac{BO}{OB_1}$$, $$\frac{CO}{OC_1}$$.
б) Докажите, что $$\frac{AO}{AA_1}+\frac{BO}{BB_1}+\frac{CO}{CC_1}=2$$, $$\frac{AO_1}{AA_1}+\frac{BO_1}{BB_1}+\frac{CO_1}{CC_1}=1$$.
в) Может ли хотя бы одна из биссектрис треугольника делиться точкой $$O$$ пополам?
г) Докажите, что одна из биссектрис делится точкой $$O$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон.
Обозначим точку пересечения биссектрис через $$O$$. По теореме о биссектрисе в треугольнике $$ABA_1$$ имеем
$$\frac{AO}{AB}=\frac{OA_1}{BA_1}, \qquad \frac{AO}{OA_1}=\frac{AB}{BA_1}.$$
В треугольнике $$ABC$$ по теореме о биссектрисе
$$\frac{BA_1}{A_1C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.$$
Так как $$BA_1+A_1C=BC=a$$, то
$$\frac{BA_1}{a-BA_1}=\frac{c}{b}, \qquad BA_1=\frac{ac}{b+c}.$$
Тогда
$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AB}{BA_1}=c\cdot \frac{b+c}{ac}=\frac{b+c}{a}.$$
Аналогично получаем
$$\frac{BO}{OB_1}=\frac{a+c}{b}, \qquad \frac{CO}{OC_1}=\frac{a+b}{c}.$$
а)
$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{b+c}{a}, \qquad \frac{BO}{OB_1}=\frac{a+c}{b}, \qquad \frac{CO}{OC_1}=\frac{a+b}{c}.$$
б)
Из найденного в пункте а) следует
$$\frac{AO}{AA_1}=\frac{AO}{AO+OA_1}=\frac{\frac{b+c}{a}}{1+\frac{b+c}{a}}=\frac{b+c}{a+b+c}.$$
Аналогично
$$\frac{BO}{BB_1}=\frac{a+c}{a+b+c}, \qquad \frac{CO}{CC_1}=\frac{a+b}{a+b+c}.$$
Тогда
$$\frac{AO}{AA_1}+\frac{BO}{BB_1}+\frac{CO}{CC_1}=\frac{b+c+a+c+a+b}{a+b+c}=2.$$
Далее
$$\frac{OA_1}{AA_1}=\frac{OA_1}{OA_1+AO}=\frac{1}{1+\frac{AO}{OA_1}}=\frac{1}{1+\frac{b+c}{a}}=\frac{a}{a+b+c}.$$
Аналогично
$$\frac{OB_1}{BB_1}=\frac{b}{a+b+c}, \qquad \frac{OC_1}{CC_1}=\frac{c}{a+b+c}.$$
Следовательно,
$$\frac{OA_1}{AA_1}+\frac{OB_1}{BB_1}+\frac{OC_1}{CC_1}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1.$$
в)
Пусть какая-нибудь биссектриса делится точкой $$O$$ пополам. Например, $$AO=OA_1$$. Тогда
$$\frac{AO}{OA_1}=1.$$
Но по пункту а)
$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{b+c}{a},$$
значит, $$a=b+c$$. Это невозможно для сторон треугольника, так как должно быть строго $$a<b+c$$. Следовательно, ни одна биссектриса не может делиться точкой $$O$$ пополам.
г)
Пусть биссектриса $$AA_1$$ делится точкой $$O$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Тогда
$$\frac{AO}{OA_1}=2.$$
По пункту а)
$$\frac{b+c}{a}=2, \qquad a=\frac{b+c}{2}.$$
То есть одна из сторон треугольника равна полусумме двух других. Обратно, если, например, $$a=\frac{b+c}{2}$$, то
$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{b+c}{a}=2,$$
значит, биссектриса $$AA_1$$ делится точкой $$O$$ в отношении $$2:1$$. Аналогично для других биссектрис.
