Упр.837 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Биссектриса внешнего угла при вершине $$A$$ треугольника $$ABC$$ пересекает прямую $$BC$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$BD:AB=DC:AC$$.

Проведём через точку $$C$$ прямую, параллельную $$AB$$, и обозначим точку её пересечения с прямой $$AD$$ через $$K$$.

Тогда $$DK \parallel AB.$$

Рассмотрим треугольники $$DCK$$ и $$DAB$$.

Так как $$DK \parallel AB$$, то

$$\angle DKC=\angle DAB,$$

а поскольку $$AD$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$A$$, то

$$\angle DAK=\angle DAM.$$

Следовательно, прямоугольные треугольники $$DKA$$ и $$DAM$$ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$DK=DM.$$

Теперь найдём площади треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$:

$$S_{ABD}=\frac12\cdot AB\cdot DM,$$

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AC\cdot DK.$$

Так как $$DM=DK$$, то

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB}{AC}.$$

С другой стороны, треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$D$$ на прямую $$BC$$, поэтому

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{DC}.$$

Следовательно,

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Перемножая крест-накрест, получаем

$$BD\cdot AC=DC\cdot AB,$$

откуда

$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$

Ответ: $$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$