Упр.836 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отмечена точка $$D$$ так, что $$BD:AB=DC:AC$$. Докажите, что отрезок $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$.

Пусть $$AD_1$$ — биссектриса угла $$A$$ треугольника $$ABC$$, а $$D_1 \in BC$$. Тогда по теореме о биссектрисе

$$\frac{BD_1}{D_1C}=\frac{AB}{AC}.$$

По условию же

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Следовательно,

$$\frac{BD}{DC}=\frac{BD_1}{D_1C}.$$

Точки $$D$$ и $$D_1$$ лежат на одной стороне $$BC$$ и делят её в одном и том же отношении. Значит, $$D \equiv D_1$$.

Итак, $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$.