Упр.835 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: четырехугольник ABCD; в закрашенные четырехугольники можно вписать окружность;
Доказать: в ABCD можно вписать окружность;
Доказательство:
1) Впишем окружности в четырехугольники и отметим точки касания ими сторон ABCD как на рисунке,также отметим пересечения данных отрезков: K_1,K_2,K_3,K_4;
2) Касательные,проведенные из одной точки:
BB_1=BB_2, CC_1=CC_2, AA_2=AA_1, DD_1=DD_2;
a=AB+CD-BC-AD=A_2 B_2+C_2 D_2-B_1 C_1-A_1 D_1;
3) Касательные,проведенные к двум окружностям:
B_1 C_1=E_1 E_2, A_1 D_1=F_1 F_2, A_2 B_2=M_1 M_2;
C_2 D_2=N_1 N_2, a=M_1 M_2+N_1 N_2-E_1 E_2-F_1 F_2;
4) Касательные,проведенные из одной точки:
K_1 M_1=K_1 E_1, K_2 N_1=K_2 E_2, K_3 F_2=K_3 N_2;
K_4 M_2=K_4 F_1, a=K_1 K_4+K_2 K_3-K_1 K_2-K_4 K_3;
5) Касательные,проведенные из одной точки:
K_1 E_3=K_1 M_3, K_2 E_3=K_2 N_3, K_3 N_3=K_3 F_3, K_4 M_3=K_4 F_3;
a=K_1 M_3+M_3 K_4+K_2 N_3+N_3 K_3-K_1 E_3-E_3 K_2-K_4 F_3-F_3 K_3;
6) a=AB+CD-BC-AD=0,следовательно в ABCD тоже можно вписать окружность,что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Обозначим

$$a=AB+CD-BC-AD.$$

В каждый из закрашенных четырёхугольников можно вписать окружность. Пусть точки касания этих окружностей со сторонами исходного четырёхугольника обозначены так, как на рисунке, а точки пересечения проведённых отрезков — $$K_1, K_2, K_3, K_4$$.

Из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:

$$BB_1=BB_2,\quad CC_1=CC_2,\quad AA_2=AA_1,\quad DD_1=DD_2.$$

Тогда

$$a=AB+CD-BC-AD=A_2B_2+C_2D_2-B_1C_1-A_1D_1.$$

Теперь используем равенство отрезков касательных, проведённых к одной окружности из одной точки:

$$B_1C_1=E_1E_2,\quad A_1D_1=F_1F_2,\quad A_2B_2=M_1M_2,\quad C_2D_2=N_1N_2.$$

Следовательно,

$$a=M_1M_2+N_1N_2-E_1E_2-F_1F_2.$$

Рассмотрим точки пересечения соответствующих отрезков. Из равенства касательных из одной точки имеем:

$$K_1M_1=K_1E_1,\quad K_2N_1=K_2E_2,\quad K_3F_2=K_3N_2,\quad K_4M_2=K_4F_1.$$

Тогда

$$a=K_1K_4+K_2K_3-K_1K_2-K_4K_3.$$