Упр.835 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На каждой из сторон выпуклого четырёхугольника отмечены две точки. Эти точки соединены отрезками так, как показано на рисунке 210. Известно, что в каждый из закрашенных четырёхугольников можно вписать окружность. Докажите, что и в исходный четырёхугольник можно вписать окружность.

Обозначим через $$a=AB+CD-BC-AD.$$ Нужно доказать, что $$a=0.$$

Впишем окружности в закрашенные четырёхугольники и отметим точки касания, как на рисунке. Кроме того, обозначим точки пересечения проведённых отрезков через $$K_1, K_2, K_3, K_4.$$

Так как касательные, проведённые из одной точки, равны, то

$$BB_1=BB_2,\quad CC_1=CC_2,\quad AA_2=AA_1,\quad DD_1=DD_2.$$

Отсюда

$$a=AB+CD-BC-AD=A_2B_2+C_2D_2-B_1C_1-A_1D_1.$$

Теперь рассмотрим общие касательные к соседним окружностям. Тогда

$$B_1C_1=E_1E_2,\quad A_1D_1=F_1F_2,\quad A_2B_2=M_1M_2,\quad C_2D_2=N_1N_2,$$

и значит

$$a=M_1M_2+N_1N_2-E_1E_2-F_1F_2.$$

Далее, используя равенство касательных из одной точки, получаем

$$K_1M_1=K_1E_1,\quad K_2N_1=K_2E_2,\quad K_3F_2=K_3N_2,\quad K_4M_2=K_4F_1.$$

Следовательно,

$$a=K_1K_4+K_2K_3-K_1K_2-K_4K_3.$$

Аналогично, из равенства касательных из одной точки имеем

$$K_1E_3=K_1M_3,\quad K_2E_3=K_2N_3,\quad K_3N_3=K_3F_3,\quad K_4M_3=K_4F_3.$$

Тогда

$$\begin{aligned} a&=K_1M_3+M_3K_4+K_2N_3+N_3K_3\\ &\quad -K_1E_3-E_3K_2-K_4F_3-F_3K_3=0. \end{aligned}$$

Итак, $$AB+CD-BC-AD=0,$$ то есть

$$AB+CD=BC+AD.$$

По признаку вписанного четырёхугольника это означает, что в четырёхугольник $$ABCD$$ можно вписать окружность.

Ответ

В четырёхугольник $$ABCD$$ можно вписать окружность.