Упр.834 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В трапецию $$ABCD$$ с основаниями $$AB$$ и $$CD$$ ($$AB>CD$$) вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если $$CD=a$$, $$DK=b$$ и $$AK=d$$, где $$K$$ — точка касания окружности и стороны $$AD$$.

Обозначим точки касания окружности со сторонами трапеции: $$E\in DC,$$ $$M\in CB,$$ $$F\in AB.$$ Тогда по свойству касательных из одной точки

$$DE=DK=b,$$ $$AF=AK=d,$$ $$CM=CE=DC-DE=a-b.$$

Опустим высоту $$DH$$ на основание $$AB.$$ Так как окружность вписана в трапецию, то расстояние между основаниями равно диаметру окружности, значит

$$DH=2R.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADH$$ имеем

$$AH=AF-DK=d-b,$$

поэтому

$$DH^2=AD^2-AH^2=(d+b)^2-(d-b)^2.$$

Тогда

$$4R^2=(d+b)^2-(d-b)^2=4db,$$

откуда

$$R=\sqrt{db}.$$

Теперь опустим высоту $$CH_1$$ на основание $$AB$$. Аналогично $$CH_1=2R.$$ Пусть $$BM=BF=x.$$ Тогда

$$BH_1=BF+FH_1=x+(a-b),$$

а также

$$BC=BM+MC=x+a-b.$$

Из прямоугольного треугольника $$BCH_1$$ получаем

$$CH_1^2=BC^2-BH_1^2=(x+a-b)^2-(x-a+b)^2.$$

Так как $$CH_1=2R,$$ то

$$4R^2=(x+a-b)^2-(x-a+b)^2=4x(a-b).$$

С учётом $$4R^2=4db$$ имеем

$$x=\frac{bd}{a-b}.$$

Площадь трапеции равна

$$S_{ABCD}=\frac12\cdot DH\cdot(AB+DC)=\frac12\cdot 2R\cdot(AB+DC).$$

Причём

$$AB=AF+FB=d+x,$$

значит

$$S_{ABCD}=R(d+x+a)=\sqrt{db}\left(d+a+\frac{bd}{a-b}\right).$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S_{ABCD}=\sqrt{db}\cdot \frac{(d+a)(a-b)+bd}{a-b} =\sqrt{db}\cdot \frac{a^2+a(d-b)}{a-b}.$$

Ответ

$$S_{ABCD}=\frac{a^2+a(d-b)}{a-b}\sqrt{bd}.$$