Упр.834 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В трапецию ABCD с основаниями АВ и CD (АВ > CD) вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если CD=a, DK=b и АК=d, где К — точка касания окружности и стороны AD.

Обозначим точки касания окружности со сторонами трапеции: $$E\in DC,$$ $$M\in CB,$$ $$F\in AB.$$ Тогда по свойству касательных из одной точки

$$DE=DK=b,$$ $$CM=CE=DC-DE=a-b,$$ $$AK=AF=d.$$

Опустим высоту $$DH$$ на основание $$AB.$$ Так как окружность касается обоих оснований трапеции, то расстояние между основаниями равно диаметру окружности:

$$DH=2R.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADH$$ имеем $$AH=AF-FH=d-b,$$ поэтому

$$DH^2=AD^2-AH^2=(d+b)^2-(d-b)^2.$$

Тогда

$$ 4R^2=(d+b)^2-(d-b)^2 = d^2+2db+b^2-d^2+2db-b^2 =4db, $$

откуда

$$R=\sqrt{db}.$$

Теперь опустим высоту $$CH_1$$ на основание $$AB$$. Аналогично $$CH_1=2R.$$ Пусть $$BM=BF=x.$$ Тогда

$$BH_1=BF+FH_1=x+(a-b),$$

а также

$$BC=BM+MC=x+a-b.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$CH_1B$$:

$$ CH_1^2=BC^2-BH_1^2=(x+a-b)^2-(x-a+b)^2. $$

Так как $$CH_1=2R,$$ то

$$ 4R^2=(x+a-b)^2-(x-a+b)^2=4x(a-b). $$

С учётом $$4R^2=4db$$ получаем

$$x=\frac{bd}{a-b}.$$

Площадь трапеции равна

$$ S_{ABCD}=\frac12\cdot DH\cdot(AB+DC) =\frac12\cdot 2R\cdot(AB+DC). $$

Причём

$$AB=AF+FB=d+x,$$

значит

$$AB+DC=d+x+a=d+a+\frac{bd}{a-b}.$$

Тогда

$$ S_{ABCD} =\sqrt{db}\left(d+a+\frac{bd}{a-b}\right) =\sqrt{db}\cdot \frac{(d+a)(a-b)+bd}{a-b}. $$

Упростим числитель:

$$ (d+a)(a-b)+bd=da-db+a^2-ab+bd=a^2+a(d-b). $$

Следовательно,

$$S_{ABCD}=\frac{a^2+a(d-b)}{a-b}\sqrt{bd}.$$

Ответ

$$\frac{a^2+a(d-b)}{a-b}\sqrt{bd}$$