Упр.833 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.
Обозначим точки касания окружности со сторонами трапеции через $$E, F, G, H.$$
Рассмотрим четырёхугольник $$ABFH.$$ Так как $$AB \perp AD$$ и $$AB \perp BC,$$ а радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, то $$OH \perp AD,$$ $$OF \perp BC.$$ Следовательно, $$ABFH$$ — прямоугольник. Поэтому
$$FH=AB=2r=h,$$
где $$r$$ — радиус окружности, $$h$$ — высота трапеции. Кроме того,
$$BF=AH=OE=r.$$
Опустим из точки $$C$$ высоту $$CK \perp AD.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$CDK$$ имеем
$$CK^2=CD^2-KD^2=CD^2-(AD-BC)^2.$$
Так как трапеция описана около окружности, то сумма противоположных сторон равна:
$$AD+BC=AB+CD.$$
Отсюда
$$CD=AD+BC-AB=AD+BC-h.$$
Подставим это в выражение для $$CK^2$$:
$$CK^2=(AD+BC-h)^2-(AD-BC)^2.$$
Но $$CK=h,$$ значит
$$h^2=(AD+BC-h)^2-(AD-BC)^2.$$
Раскроем скобки:
$$h^2=(AD+BC)^2-2h(AD+BC)+h^2-(AD-BC)^2.$$
Сокращая $$h^2,$$ получаем
$$2h(AD+BC)=(AD+BC)^2-(AD-BC)^2.$$
По формуле разности квадратов:
$$(AD+BC)^2-(AD-BC)^2=4AD\cdot BC.$$
Тогда
$$2h(AD+BC)=4AD\cdot BC,$$
то есть
$$h(AD+BC)=2AD\cdot BC.$$
Площадь трапеции равна
$$S_{ABCD}=\frac{(AD+BC)h}{2}=\frac{2AD\cdot BC}{2}=AD\cdot BC.$$
Что и требовалось доказать.
