Упр.832 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что в выпуклый многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.

Подробный ответ

Пусть диагональ $$AC$$ делит выпуклый четырёхугольник $$ABCD$$ на треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. Обозначим точки касания вписанных окружностей этих треугольников с диагональю $$AC$$ через $$E_1$$ и $$E_2$$.

Доказательство

1. Докажем, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то окружности в треугольниках касаются $$AC$$ в одной точке.

Пусть в $$ABCD$$ можно вписать окружность. Тогда для описанного четырёхугольника выполняется

$$AB+CD=BC+AD.$$

Обозначим точки касания вписанной окружности с сторонами $$AB,\,BC,\,CD,\,DA$$ через $$K,\,P,\,N,\,M$$ соответственно. Тогда по свойству касательных из одной точки

$$BK=BP,\quad CP=CN,\quad DN=DM,\quad AM=AK.$$

Кроме того,

$$AB=AK+KB,\quad BC=BP+PC,\quad CD=CN+ND,\quad AD=AM+MD.$$

Подставим это в равенство $$AB+CD=BC+AD$$:

$$AK+KB+CN+ND=BP+PC+AM+MD.$$

С учётом равенств $$KB=BP$$ и $$ND=MD$$ получаем

$$AK+CN=PC+AM.$$

Но $$AK=AM$$, значит

$$CN=PC.$$

Следовательно, на диагонали $$AC$$ отрезки от точки касания до вершин равны для обеих вписанных окружностей, то есть точки касания совпадают: $$E_1=E_2$$.

2. Докажем обратное: если окружности, вписанные в треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$, касаются $$AC$$ в одной точке, то в $$ABCD$$ можно вписать окружность.

Пусть обе окружности касаются диагонали $$AC$$ в одной точке $$E$$. Тогда

$$CE=CP=CN,\qquad AE=AK=AM.$$

Из свойств касательных из одной точки имеем также

$$BP=BK,\qquad DN=DM.$$

Тогда

$$AB+CD=(AK+KB)+(CN+ND),$$

$$BC+AD=(BP+PC)+(AM+MD).$$

С учётом равенств $$AK=AM$$, $$BK=BP$$, $$CN=CP$$, $$ND=MD$$ получаем

$$AB+CD=BC+AD.$$

А это и есть признак четырёхугольника, в который можно вписать окружность. Значит, в $$ABCD$$ можно вписать окружность.

Итак, в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.