Упр.831 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Противоположные стороны выпуклого четырёхугольника продолжены до пересечения. Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы образовавшихся углов взаимно перпендикулярны.

Пусть $$E=NO\cap BC$$ и $$F=MO\cap BA$$. Обозначим $$\angle CMO=\angle OMD=a$$ и $$\angle ANO=\angle OND=\varphi$$, если $$MO\perp NO$$.

Доказательство

Рассмотрим сначала прямое утверждение: если $$MO\perp NO$$, то около $$ABCD$$ можно описать окружность.

В прямоугольном треугольнике $$MEO$$ имеем

$$\angle MEO=90^\circ-a.$$

Так как точки $$N,E,C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle NEC=\angle MEO=90^\circ-a.$$

В треугольнике $$NEC$$ получаем

$$\angle NCE=180^\circ-\varphi-(90^\circ-a)=90^\circ+a-\varphi.$$

Следовательно,

$$\angle BCD=180^\circ-(90^\circ+a-\varphi)=90^\circ-a+\varphi.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$NFO$$

$$\angle NFO=90^\circ-\varphi.$$

Так как точки $$M,F,A$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle MFA=\angle NFO=90^\circ-\varphi.$$

В треугольнике $$MAF$$ имеем

$$\angle MAF=180^\circ-a-(90^\circ-\varphi)=90^\circ-a+\varphi.$$

Значит,

$$\angle BAD=180^\circ-(90^\circ-a+\varphi)=90^\circ+a-\varphi.$$

Тогда в четырёхугольнике $$ABCD$$

$$\angle BAD+\angle BCD=(90^\circ+a-\varphi)+(90^\circ-a+\varphi)=180^\circ.$$

Следовательно, около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность.

Теперь докажем обратное: пусть $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник. Тогда

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$MNB$$. В нём

$$180^\circ-\angle ABC=\angle BMN+\angle MNB.$$

Так как $$MO$$ и $$NO$$ — биссектрисы, то

$$\angle MON=180^\circ-(a+\angle BMN)-(\varphi+\angle MNB).$$

Отсюда

$$\angle MON=180^\circ-a-\varphi-(\angle BMN+\angle MNB).$$

Но из треугольника $$MNB$$

$$\angle BMN+\angle MNB=180^\circ-\angle ABC.$$

Значит,

$$\angle MON=\angle ABC-a-\varphi.$$

С другой стороны, для внешних углов треугольников $$BNC$$ и $$MBA$$ имеем

$$\angle ABC=2\varphi+\angle BCN,$$

$$\angle ABC=2a+\angle BAM.$$

Так как $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник, то

$$\angle BCN+\angle BAM=180^\circ.$$

Следовательно,

$$2\angle ABC=2\varphi+2a+180^\circ,$$

то есть

$$\angle ABC=\varphi+a+90^\circ.$$

Тогда

$$\angle MON=\angle ABC-a-\varphi=90^\circ.$$

Итак, $$MO\perp NO$$.

Ответ

Около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда $$NO\perp MO$$.