Упр.831 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Противоположные стороны выпуклого четырёхугольника продолжены до пересечения. Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы образовавшихся углов взаимно перпендикулярны.

Обозначим точки пересечения продолжений противоположных сторон: $$N=AB\cap DC$$, $$M=BC\cap DA$$. Пусть $$NO$$ и $$MO$$ — биссектрисы углов $$\angle AND$$ и $$\angle DMC$$.

Докажем сначала прямое утверждение. Проведём точки $$E=NO\cap BC$$ и $$F=MO\cap BA$$. Пусть $$MO\perp NO$$. Обозначим $$\angle CMO=\angle OMD=a$$, $$\angle ANO=\angle OND=\varphi$$.

В прямоугольном треугольнике $$MEO$$ имеем

$$\angle MEO=90^\circ-a.$$

Так как точки $$N,E,O$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle NEC=\angle MEO=90^\circ-a.$$

В треугольнике $$NEC$$:

$$\angle NCE=180^\circ-\varphi-(90^\circ-a)=90^\circ+a-\varphi.$$

Но $$\angle NCE=\angle BCD$$, значит

$$\angle BCD=90^\circ-a+\varphi.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$NFO$$:

$$\angle NFO=90^\circ-\varphi.$$

Так как $$M,F,O$$ лежат на одной прямой, то $$\angle MFA=\angle NFO=90^\circ-\varphi$$. Тогда в треугольнике $$MAF$$:

$$\angle MAF=180^\circ-a-(90^\circ-\varphi)=90^\circ-a+\varphi.$$

Следовательно, $$\angle BAD=\angle MAF=90^\circ-a+\varphi.$$

Теперь получаем:

$$\angle BAD+\angle BCD=(90^\circ-a+\varphi)+(90^\circ-a+\varphi)=180^\circ.$$

Значит, около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность.

Докажем обратное. Пусть теперь $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник. Тогда

$$\angle A+\angle C=180^\circ,$$

то есть

$$\angle BAD+\angle BCD=180^\circ.$$

Из внешних углов треугольников $$BNC$$ и $$MBA$$ имеем:

$$\angle ABC=2\varphi+\angle BCN,$$

$$\angle ABC=2a+\angle BAM.$$

Кроме того, так как $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник, то

$$\angle BCN+\angle BAM=180^\circ.$$

Складывая равенства, получаем:

$$2\angle ABC=2\varphi+2a+180^\circ,$$

откуда

$$\angle ABC=\varphi+a+90^\circ.$$

Теперь найдём угол между биссектрисами:

$$\angle MON=\angle ABC-a-\varphi=\varphi+a+90^\circ-a-\varphi=90^\circ.$$

Следовательно, $$MO\perp NO$$.

Ответ

Около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда $$NO\perp MO$$.