Упр.830 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На окружности даны четыре точки А, В, С и D в указанном порядке. Точка М — середина дуги АВ, К — точка пересечения хорд АВ и MD, Е — точка пересечения хорд АВ и МС. Докажите, что около четырёхугольника CDKE можно описать окружность.

Рассмотрим углы, образованные пересекающимися хордами.

Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной окружности, а точка $$M$$ — середина дуги $$AB$$, то дуги $$MB$$ и $$MA$$ равны.

Для угла между хордами $$AB$$ и $$MC$$ имеем:

$$\angle BEC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{MA}.$$

Аналогично для угла между хордами $$AB$$ и $$MD$$:

$$\angle MDC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{MC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{MB}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}.$$

Так как $$\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{MA}$$, то

$$\angle MDC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{MA}=\angle BEC.$$

Кроме того, углы $$\angle BEC$$ и $$\angle MEA$$ — вертикальные, значит

$$\angle BEC=\angle MEA.$$

Следовательно, $$\angle MEA=\angle MDC.$$

Теперь рассмотрим углы $$\angle KEC$$ и $$\angle KDC$$. Так как точки $$K, E, A$$ лежат на одной прямой, а точки $$K, D, M$$ — на одной прямой, то

$$\angle KEC+\angle MEA=180^\circ.$$

Но $$\angle MEA=\angle MDC$$, значит

$$\angle KEC+\angle MDC=180^\circ.$$

Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника $$CDKE$$ равна $$180^\circ$$, значит около него можно описать окружность.

Ответ

Около четырёхугольника $$CDKE$$ можно описать окружность.