Упр.830 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- На окружности даны четыре точки А, В, С и D в указанном порядке. Точка М — середина дуги АВ, К — точка пересечения хорд АВ и MD, Е — точка пересечения хорд АВ и МС. Докажите, что около четырёхугольника CDKE можно описать окружность.
Рассмотрим углы, образованные пересекающимися хордами.
Так как точки $$B,E,C$$ лежат на одной хорде, а точки $$M,E,A$$ — на другой, то
$$\angle BEC=\frac12\overset{\frown}{BC}+\frac12\overset{\frown}{MA}.$$
Аналогично, для хорд $$MD$$ и $$AC$$ получаем
$$\angle MDC=\frac12\overset{\frown}{MC}.$$
Но дуга $$\overset{\frown}{MC}$$ состоит из дуг $$\overset{\frown}{MB}$$ и $$\overset{\frown}{BC}$$, поэтому
$$\angle MDC=\frac12\overset{\frown}{MB}+\frac12\overset{\frown}{BC}.$$
По условию $$M$$ — середина дуги $$AB$$, значит
$$\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{MA}.$$
Следовательно,
$$\angle MDC=\frac12\overset{\frown}{BC}+\frac12\overset{\frown}{MA}=\angle BEC.$$
Кроме того, углы $$\angle BEC$$ и $$\angle MEA$$ — вертикальные, значит
$$\angle BEC=\angle MEA.$$
Тогда
$$\angle MDC=\angle MEA.$$
Углы $$\angle KEC$$ и $$\angle MEA$$ смежные, поэтому
$$\angle KEC+\angle MEA=180^\circ.$$
Отсюда
$$\angle KEC+\angle MDC=180^\circ.$$
Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника $$CDKE$$ равна $$180^\circ$$, значит около него можно описать окружность.
Ответ: около четырёхугольника $$CDKE$$ можно описать окружность.
