Упр.83 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро CC1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D; б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости AB1C1.

Подробный ответ

а) Пусть $$M$$ — точка пересечения диагоналей грани $$AA_1D_1D$$.

Так как $$AA_1 \parallel CC_1$$, то плоскость сечения, проходящая через ребро $$CC_1$$ и точку $$M$$, содержит прямую, параллельную $$AA_1$$. Следовательно, линия пересечения этой плоскости с гранью $$AA_1D_1D$$ проходит через $$M$$ и параллельна $$AA_1$$.

Проведём через точку $$M$$ прямую $$EF \parallel AA_1$$, где $$E \in AD$$, $$F \in A_1D_1$$. Тогда, соединяя точки $$E$$ и $$C$$, а также $$F$$ и $$C_1$$, получаем искомое сечение $$CEFC_1$$.

б) Пусть $$M$$ — точка пересечения диагоналей грани $$ABCD$$.

Проведём через точку $$M$$ прямую $$MN \parallel BC$$, где $$N \in CD$$. Через точки $$M$$ и $$N$$ проведём прямые, параллельные $$BB_1$$ и $$CC_1$$ соответственно. Обозначим точки пересечения этих прямых с верхней гранью через $$K$$ и $$P$$.

Тогда получаем четырёхугольник $$MNPK$$, который и является искомым сечением.