Упр.829 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
Возьмём на диагонали $$AC$$ точку $$K$$ так, чтобы $$\angle ABK=\angle CBD$$.
Рассмотрим треугольники $$ABK$$ и $$CBD$$. Так как $$\angle ABK=\angle CBD$$ по построению, а $$\angle AKB=\angle CDB$$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$AB$$, то
$$\triangle ABK \sim \triangle CBD.$$
Отсюда
$$\frac{AK}{DC}=\frac{AB}{DB},$$
значит
$$AK=\frac{AB\cdot DC}{DB}.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$BKC$$ и $$ABD$$. Угол
$$\angle BKC=180^\circ-\angle AKB=180^\circ-\angle CDB=\angle DAB,$$
так как в вписанном четырёхугольнике $$\angle CDB+\angle DAB=180^\circ$$. Кроме того,
$$\angle BCK=\angle ADB$$
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $$AB$$. Следовательно,
$$\triangle BKC \sim \triangle ABD.$$
Отсюда
$$\frac{KC}{AD}=\frac{BC}{BD},$$
значит
$$KC=\frac{BC\cdot AD}{BD}.$$
Так как $$AC=AK+KC$$, получаем
$$AC=\frac{AB\cdot DC}{DB}+\frac{BC\cdot AD}{BD}.$$
Умножим на $$BD$$:
$$AC\cdot BD=AB\cdot DC+BC\cdot AD.$$
Что и требовалось доказать.
