Упр.829 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Возьмём на диагонали $$AC$$ точку $$K$$ так, чтобы $$\angle ABK=\angle CBD$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABK$$ и $$\triangle CBD$$. Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, то вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$BC$$, равны:

$$\angle KAB=\angle BDC.$$

Следовательно, $$\triangle ABK \sim \triangle CBD$$, откуда

$$\frac{AK}{DC}=\frac{AB}{DB}, \qquad AK=\frac{AB\cdot DC}{DB}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle BKC$$ и $$\triangle ABD$$. Имеем

$$\angle BKC=180^\circ-\angle AKB=180^\circ-\angle C=\angle A,$$

а также

$$\angle BCK=\angle ADB$$

как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $$AB$$.

Значит, $$\triangle BKC \sim \triangle ABD$$, поэтому

$$\frac{KC}{AD}=\frac{BC}{BD}, \qquad KC=\frac{BC\cdot AD}{BD}.$$

Так как $$K$$ лежит на диагонали $$AC$$, то

$$AC=AK+KC=\frac{AB\cdot DC}{BD}+\frac{BC\cdot AD}{BD}.$$

Умножим обе части на $$BD$$:

$$AC\cdot BD=AB\cdot DC+BC\cdot AD.$$

Что и требовалось доказать.