Упр.828 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD=ВС+AD.

Подробный ответ

Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$M$$, причём $$M \in CD$$. Проведём через точку $$M$$ прямую $$EF \parallel AB$$, где $$E \in AD$$, $$F \in BC$$.

Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, то

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Поскольку $$EF \parallel AB$$, то односторонние углы при секущей дают

$$\angle A+\angle AEM=180^\circ,$$

следовательно,

$$\angle AEM=\angle C.$$

Кроме того, $$\angle DME=\angle FMC$$ как вертикальные углы. Значит,

$$\triangle DEM \sim \triangle CFM.$$

Точка $$M$$ лежит на биссектрисах углов $$A$$ и $$B$$, поэтому она равноудалена от сторон $$AB$$ и $$AD$$, а также от сторон $$AB$$ и $$BC$$. Следовательно, она равноудалена и от прямых $$AD$$ и $$BC$$. Тогда высоты треугольников $$DEM$$ и $$CFM$$, проведённые из вершины $$M$$, равны, откуда

$$\triangle DEM \cong \triangle CFM,$$

и значит

$$DE=CF.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AEM$$. Так как $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle EAM=\angle AME.$$

Следовательно, $$\triangle AEM$$ равнобедренный, и потому

$$AE=EM.$$

Аналогично из того, что $$BM$$ — биссектриса угла $$B$$, получаем

$$BF=FM.$$

Так как точки $$D, M, C$$ лежат на одной прямой, то

$$CD=DM+MC.$$

С учётом равенств $$DM=FM$$, $$MC=EM$$, $$DE=CF$$ и $$AE=EM$$ имеем