Упр.828 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В четырёхугольнике $$ABCD$$, вписанном в окружность, биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке, лежащей на стороне $$CD$$. Докажите, что $$CD=BC+AD$$.

Проведём через точку $$M$$ прямую, параллельную $$AB$$, и обозначим точки её пересечения с прямыми $$AD$$ и $$BC$$ через $$E$$ и $$F$$ соответственно.

Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, то

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Поскольку $$EF\parallel AB$$, имеем

$$\angle EAM=\angle BAM,\qquad \angle BMF=\angle ABM.$$

Точка $$M$$ лежит на биссектрисах углов $$A$$ и $$B$$, значит

$$\angle EAM=\angle BAM,\qquad \angle BMF=\angle ABM,$$

откуда в треугольниках $$AEM$$ и $$BFM$$ получаем

$$AE=EM,\qquad BF=FM.$$

Кроме того, из параллельности $$EF\parallel AB$$ и вписанности $$ABCD$$ следует, что

$$\angle AEM=\angle C,\qquad \angle DME=\angle FMC,$$

поэтому треугольники $$DEM$$ и $$CFM$$ равны, а значит

$$DE=CF.$$

Теперь запишем длину стороны $$CD$$:

$$CD=DE+EM+MF+FC.$$

С учётом равенств $$DE=CF$$, $$EM=AE$$, $$MF=BF$$ получаем

$$CD=CF+AE+BF+FC=AE+BF+2CF.$$

Но из равенства треугольников $$DEM$$ и $$CFM$$ имеем $$DE=CF$$, следовательно

$$CD=DM+MC=FM+EM.$$

Тогда

$$CD=BF+AE=BC+AD.$$

Что и требовалось доказать.