Упр.827 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности, а $$d$$ — её диаметр. Проведём через вершину $$B$$ диаметр $$BB_1$$.

Тогда $$\angle BAB_1=90^\circ$$, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Обозначим $$\angle ACB=\varphi$$. Тогда в треугольнике $$ABB_1$$

$$\angle ABB_1=90^\circ-\angle B A B_1?$$

Удобнее заметить, что

$$\angle ABB_1=90^\circ-\angle B A B_1=90^\circ-\angle CAB,$$

а поскольку четырёхугольник $$ABCD$$ вписанный, то $$\angle CAB=\angle CDB$$ как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$CB$$. Следовательно,

$$\angle ABB_1=\angle CDB.$$

Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$OCB$$ имеем

$$\angle CBO=90^\circ-\angle OCB.$$

Так как $$OB=OC$$, то $$\angle OCB=\angle CBO$$, откуда

$$\angle CBO=90^\circ-\angle CBO,$$

и, следовательно, соответствующие углы при хордах $$AB_1$$ и $$CD$$ равны. Значит, хорды равны:

$$AB_1=CD.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABB_1$$. По теореме Пифагора

$$BB_1^2=AB^2+AB_1^2.$$

Так как $$AB_1=CD$$, получаем

$$BB_1^2=AB^2+CD^2.$$

Но $$BB_1$$ — диаметр описанной окружности, значит $$BB_1=d$$. Поэтому

$$AB^2+CD^2=d^2.$$

Что и требовалось доказать.