Упр.826 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты треугольника $$ABC$$. Докажите, что точки $$A$$, $$B$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат на одной окружности.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения высот:

$$O=AA_1\cap BB_1.$$

Так как $$AA_1\perp BC$$ и $$BB_1\perp AC$$, то углы $$\angle OA_1B_1$$ и $$\angle OBA_1$$ являются прямыми, а значит, четырёхугольники $$AOB_1A_1$$ и $$BOA_1A$$ можно рассматривать как прямоугольные треугольники.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOB_1$$ и $$\triangle BOA_1$$. У них

$$\angle ABO_1?$$

Используем более простой путь: в треугольниках $$\triangle AOB_1$$ и $$\triangle BOA_1$$

$$\angle AOB_1=\angle BOA_1$$ — вертикальные,

$$\angle AB_1O=90^\circ,\qquad \angle BA_1O=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle AOB_1\sim \triangle BOA_1$$ по двум углам. Отсюда

$$\angle OBA_1=\angle OAB_1.$$

Теперь рассмотрим окружность, проходящую через точки $$A$$, $$B_1$$ и $$A_1$$. Тогда равенство

$$\angle OBA_1=\angle OAB_1$$

означает, что точка $$B$$ видит хорду $$A_1B_1$$ под тем же углом, что и точка $$A$$, то есть

$$\angle BA_1B_1=\angle BAA_1.$$

Следовательно, точки $$A$$, $$B$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат на одной окружности.