Упр.826 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отрезки AA_1 и BB_1 — высоты треугольника АВС. Докажите, что точки А, В, A_1 и B_1 лежат на одной окружности.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения высот: $$O=AA_1\cap BB_1$$.

Так как $$AA_1\perp BC$$ и $$BB_1\perp AC$$, то углы $$\angle A_1OB_1$$ и $$\angle AOB$$ являются вертикальными, а значит, равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AOB_1$$ и $$\triangle BOA_1$$. В них

$$\angle ABO_1=90^\circ,\qquad \angle BA_1O=90^\circ,$$

а также $$\angle AOB_1=\angle BOA_1$$. Следовательно, $$\triangle AOB_1\sim \triangle BOA_1$$ по двум углам.

Из подобия получаем

$$\angle OBA_1=\angle OAB_1.$$

Теперь построим окружность через точки $$A$$, $$B_1$$ и $$A_1$$. Тогда угол $$\angle B_1AA_1$$ опирается на дугу $$B_1A_1$$, и угол $$\angle B_1BA_1$$ тоже опирается на ту же дугу, так как

$$\angle B_1BA_1=\angle B_1AA_1.$$

Значит, точка $$B$$ лежит на этой окружности. Следовательно, точки $$A$$, $$B$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат на одной окружности.