Упр.825 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Хорды $$AB$$ и $$CD$$ взаимно перпендикулярны, луч $$AB$$ является биссектрисой угла $$DAE$$. Докажите, что $$AE?BC$$. Рассмотрите все возможные случаи.

Пусть $$M$$ — точка пересечения хорд $$AB$$ и $$CD$$, а $$E$$ — точка пересечения прямых $$AE$$ и $$BC$$.

Рассмотрим два возможных случая: прямая $$AE$$ может быть секущей или касательной к окружности. В обоих случаях рассуждение одинаково.

Так как хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются под прямым углом, то $$AB \perp CD$$, значит в треугольнике $$DMA$$ угол $$\angle DMA = 90^\circ$$.

Углы $$\angle EBA$$ и $$\angle CDA$$ опираются на одну и ту же дугу $$CA$$, поэтому

$$\angle EBA=\angle CDA.$$

Поскольку $$AB$$ — биссектриса угла $$DAE$$, имеем

$$\angle DAB=\angle BAE.$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $$DMA$$

$$\angle DAB=90^\circ-\angle CDA.$$

Тогда, учитывая равенство $$\angle CDA=\angle EBA$$, получаем

$$\angle DAB=90^\circ-\angle EBA.$$

Но $$\angle DAB=\angle BAE$$, значит

$$\angle BAE=90^\circ-\angle EBA.$$

В треугольнике $$EBA$$

$$\angle AEB=180^\circ-\angle EBA-\angle BAE =180^\circ-\angle EBA-\left(90^\circ-\angle EBA\right)=90^\circ.$$

Следовательно, $$AE \perp BC$$, что и требовалось доказать.