Упр.824 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки А, В, С и D лежат на одной окружности, луч BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС. Докажите, что ?AMD=?BAD.

Подробный ответ

Пусть точка $$M$$ — точка пересечения прямой $$BD$$ с прямой $$AC$$. Тогда луч $$BM$$ является биссектрисой угла $$ABC$$, значит

$$\angle ABM=\angle MBC.$$

Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной окружности, то вписанные углы $$\angle DBC$$ и $$\angle DAC$$ опираются на одну и ту же дугу $$DC$$, следовательно,

$$\angle DBC=\angle DAC.$$

Поскольку $$BM$$ — биссектриса угла $$ABC$$, а точка $$M$$ лежит на луче $$BD$$, имеем

$$\angle ABD=\angle DBC.$$

Тогда

$$\angle ABD=\angle DAC.$$

Рассмотрим угол $$\angle AMD$$. Так как точки $$A, M, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle AMD=180^\circ-\angle DAM-\angle ADM.$$

Но $$\angle DAM=\angle DAC$$, а $$\angle ADM=\angle ADB=\angle ABD$$, поэтому

$$\angle AMD=180^\circ-\angle DAC-\angle ABD.$$

С другой стороны, в треугольнике $$ABD$$

$$\angle BAD=180^\circ-\angle ABD-\angle ADB.$$

Так как $$\angle ADB=\angle DAC$$, получаем