Упр.824 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ лежат на одной окружности, луч $$BD$$ содержит биссектрису $$BM$$ треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$\angle AMD=\angle BAD$$.

Подробный ответ

Пусть $$M=AC\cap BD$$.

Так как точки $$A,B,C,D$$ лежат на одной окружности, то вписанные углы $$\angle DBC$$ и $$\angle DAC$$ опираются на одну и ту же дугу $$DC$$. Следовательно,

$$\angle DBC=\angle DAC.$$

Поскольку $$BM$$ — биссектриса угла $$ABC$$, имеем

$$\angle ABM=\angle MBC.$$

Но точка $$M$$ лежит на луче $$BD$$, значит $$\angle ABM=\angle ABD$$ и $$\angle MBC=\angle DBC$$. Тогда

$$\angle ABD=\angle DBC.$$

Отсюда

$$\angle ABD=\angle DAC.$$

Теперь рассмотрим углы $$\angle AMD$$ и $$\angle BAD$$. Так как точки $$A,M,C$$ лежат на одной прямой, а точки $$B,M,D$$ — на одной прямой, то

$$\angle AMD=180^\circ-\angle DAC-\angle ADB,$$

$$\angle BAD=180^\circ-\angle ABD-\angle ADB.$$

Так как $$\angle ABD=\angle DAC$$, получаем

$$\angle AMD=\angle BAD.$$