Упр.823 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки B_1 и C_1 — середины дуг АВ и АС (рис. 209). Докажите, что AM=AN.

Подробный ответ

Рассмотрим углы, образованные пересекающимися хордами.

Так как точки $$M$$ и $$N$$ лежат на хорде $$B_1C_1$$, то

$$\angle AMC_1=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BB_1}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC_1},$$

$$\angle ANB_1=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CC_1}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB_1}.$$

По условию $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$, значит

$$\overset{\frown}{AB_1}=\overset{\frown}{B_1B}, \qquad \overset{\frown}{AC_1}=\overset{\frown}{C_1C}.$$

Следовательно,

$$\overset{\frown}{BB_1}=\overset{\frown}{AB_1}, \qquad \overset{\frown}{CC_1}=\overset{\frown}{AC_1},$$

и потому

$$\angle AMC_1=\angle ANB_1.$$

Значит, треугольник $$AMN$$ равнобедренный, откуда