Упр.822 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку $$K$$, лежащую на окружности с центром $$O$$, проведены хорда $$KA$$ и касательная $$KB$$, а через точку $$O$$ проведена прямая, перпендикулярная к прямой $$OA$$ и пересекающая хорду $$KA$$ в точке $$M$$, а касательную $$KB$$ — в точке $$N$$. Докажите, что $$NK=NM$$.

Пусть $$\angle OKM=\varphi.$$ Тогда, так как $$KB$$ — касательная к окружности в точке $$K$$, радиус $$OK$$ перпендикулярен касательной, значит

$$\angle MKN=90^\circ-\varphi.$$

Рассмотрим треугольник $$KOA$$. Он равнобедренный, так как $$OK=OA$$ как радиусы одной окружности. Поэтому

$$\angle KAO=\angle OKA=\varphi.$$

Так как $$OA\perp PN$$ и точка $$M$$ лежит на прямой $$PN$$, то в треугольнике $$MOA$$ угол при $$O$$ прямой, следовательно

$$\angle AMO=90^\circ-\angle MAO=90^\circ-\varphi.$$

Углы $$\angle AMO$$ и $$\angle NMK$$ — вертикальные, значит

$$\angle NMK=\angle AMO=90^\circ-\varphi.$$

Итак, в треугольнике $$NKM$$ получаем

$$\angle MKN=\angle NMK.$$

Следовательно, треугольник $$NKM$$ равнобедренный, поэтому

$$NK=NM.$$

Ответ

$$NK=NM.$$