Упр.822 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через точку К, лежащую на окружности с центром О, проведены хорда КА и касательная КВ, а через точку О проведена прямая, перпендикулярная к прямой ОА и пересекающая хорду КА в точке М, а касательную КВ — в точке N. Докажите, что NK=NM.

Обозначим $$\angle OKM=\varphi.$$ Так как $$KB$$ — касательная к окружности в точке $$K$$, то радиус $$OK$$ перпендикулярен касательной, значит

$$\angle MKN=90^\circ-\varphi.$$

В треугольнике $$KOA$$ имеем $$OK=OA$$ как радиусы одной окружности, следовательно, треугольник $$KOA$$ равнобедренный. Поэтому

$$\angle KAO=\angle OKA=\varphi.$$

Прямая $$ON$$ перпендикулярна $$OA$$, значит треугольник $$MOA$$ прямоугольный, и тогда

$$\angle AMO=90^\circ-\angle MAO=90^\circ-\varphi.$$

Углы $$\angle AMO$$ и $$\angle NMK$$ — вертикальные, значит

$$\angle NMK=\angle AMO=90^\circ-\varphi.$$

Тогда

$$\angle MKN=\angle NMK.$$

Следовательно, треугольник $$MNK$$ равнобедренный, откуда

$$NK=NM.$$

Ответ

$$NK=NM.$$