Упр.821 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Обозначим точки пересечения прямых с окружностью так, как на рисунке: на одной прямой лежат точки $$A$$ и $$B$$, на другой — $$C$$ и $$D$$, а $$M$$ — точка их пересечения. Нужно доказать, что $$AM=CM$$ и $$BM=MD$$.

Рассмотрим два случая.

1. Точка $$M$$ лежит внутри круга.

   По теореме о пересекающихся хордах имеем:

   $$AM\cdot MB=CM\cdot MD.$$

   Так как $$AB=CD$$, то

   $$MB=AB-AM,$$

   $$MD=CD-CM=AB-CM.$$

   Подставим это в равенство:

   $$AM\cdot(AB-AM)=CM\cdot(AB-CM).$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$AM\cdot AB-AM^2=CM\cdot AB-CM^2,$$

   $$AB(AM-CM)=(AM-CM)(AM+CM).$$

   Отсюда

   $$AM=CM.$$

   Тогда

   $$BM=AB-AM=AB-CM=MD.$$

2. Точка $$M$$ лежит вне круга.

   По теореме о секущих из внешней точки:

   $$MA\cdot MB=MK^2,$$

   $$MC\cdot MD=MK^2,$$

   значит,

   $$MA\cdot MB=MC\cdot MD.$$

   Так как $$AB=CD$$, то

   $$MB=MA+AB,$$

   $$MD=MC+CD=MC+AB.$$

   Подставим:

   $$MA\cdot(MA+AB)=MC\cdot(MC+AB).$$

   После раскрытия скобок получаем:

   $$MA^2+AB\cdot MA=MC^2+AB\cdot MC,$$

   $$(MA-MC)(MA+MC+AB)=0.$$

   Следовательно, $$MA=MC$$, а значит, и

   $$MB=MA+AB=MC+AB=MD.$$

Итак, в обоих случаях получаем:

$$AM=CM,\qquad BM=MD.$$

Ответ

$$AM=CM,\quad BM=MD.$$