Упр.821 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
Обозначим точки пересечения прямых с окружностью так, что на одной прямой лежат точки $$A$$ и $$B$$, а на другой — $$C$$ и $$D$$, причём $$AB=CD$$. Пусть прямые пересекаются в точке $$M$$.
Рассмотрим два случая.
1. Точка $$M$$ лежит внутри круга. Тогда по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд
$$AM\cdot MB=CM\cdot MD.$$
Так как $$AB=CD$$, то
$$MB=AB-AM,$$
$$MD=CD-CM=AB-CM.$$
Подставим в равенство:
$$AM\cdot(AB-AM)=CM\cdot(AB-CM).$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$AM\cdot AB-AM^2=CM\cdot AB-CM^2,$$
$$AB(AM-CM)=(AM-CM)(AM+CM).$$
Отсюда
$$AM=CM.$$
Тогда
$$BM=AB-AM=AB-CM=MD.$$
2. Точка $$M$$ лежит вне круга. Тогда по теореме о степени точки для двух секущих
$$MA\cdot MB=MK^2,$$
$$MC\cdot MD=MK^2,$$
следовательно,
$$MA\cdot MB=MC\cdot MD.$$
Так как $$AB=CD$$, то
$$MB=MA+AB,$$
$$MD=MC+CD=MC+AB.$$
Подставим:
$$MA\cdot(MA+AB)=MC\cdot(MC+AB).$$
После раскрытия скобок получаем
$$MA^2+AB\cdot MA=MC^2+AB\cdot MC,$$
$$ (MA-MC)(MA+MC+AB)=0.$$
Так как $$MA+MC+AB>0$$, то
$$MA=MC.$$
Тогда
$$BM=MA+AB=MC+AB=MD.$$
Итак, в обоих случаях получаем
$$AM=CM,\qquad BM=MD.$$
Ответ
$$AM=CM,\quad BM=MD.$$