Упр.820 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Окружность касается сторон $$\text{АВ}$$ и $$\text{АС}$$ треугольника $$\text{АВС}$$ и пересекает сторону $$\text{ВС}$$ в точках $$\text{Р}$$ и $$\text{Q}$$, $$\text{ВР}=\text{CQ}$$. Докажите, что треугольник $$\text{АВС}$$ равнобедренный.

Обозначим точки касания окружности со сторонами $$AB$$ и $$AC$$ через $$M$$ и $$N$$ соответственно.

По теореме о касательной и секущей для точки $$C$$ имеем

$$CN^2=CQ\cdot CP.$$

Аналогично для точки $$B$$:

$$BM^2=BP\cdot BQ.$$

Так как по условию $$BP=CQ$$, а точки $$P$$ и $$Q$$ лежат на отрезке $$BC$$, то

$$BQ=BC-CQ,\qquad CP=BC-BP,$$

следовательно, из равенства $$BP=CQ$$ получаем $$BQ=CP$$. Тогда

$$CN^2=CQ\cdot CP=BP\cdot BQ=BM^2,$$

откуда $$CN=BM$$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AOM$$ и $$\triangle AON$$. У них

$$OM=ON$$

как радиусы одной окружности, $$OA$$ — общая сторона, а $$\angle AMO=\angle ANO=90^\circ$$, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит,

$$\triangle AOM \cong \triangle AON,$$

откуда

$$AM=AN.$$

Тогда

$$AB=AM+MB,\qquad AC=AN+NC.$$

С учётом равенств $$AM=AN$$ и $$MB=NC$$ получаем

$$AB=AC.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.