Упр.82 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку M грани AA1B1B. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку M параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани BB1C1C; в) плоскости BDD1.

Подробный ответ

а) Плоскость, параллельная основанию $$ABCD,$$ пересекает боковые грани по отрезкам, параллельным рёбрам основания.

Через точку $$M$$ проведём прямую $$m \parallel AB.$$ Пусть $$m \cap AA_1=A_2$$ и $$m \cap BB_1=B_2.$$

Через точку $$A_2$$ проведём прямую $$a \parallel AD,$$ пусть $$a \cap DD_1=D_2.$$

Через точку $$B_2$$ проведём прямую $$b \parallel BC,$$ пусть $$b \cap CC_1=C_2.$$

Соединим точки $$C_2$$ и $$D_2.$$ Тогда $$A_2B_2 \parallel AB,$$ $$B_2C_2 \parallel BC,$$ $$C_2D_2 \parallel CD,$$ $$D_2A_2 \parallel AD,$$ значит, $$A_2B_2C_2D_2$$ — искомое сечение.

б) Плоскость, параллельная грани $$BB_1C_1C,$$ пересекает параллельные ей грани параллелепипеда по параллельным прямым.

Через точку $$M$$ проведём прямую $$m \parallel BB_1.$$ Пусть $$m \cap AB=Q$$ и $$m \cap A_1B_1=Q_1.$$

Через точку $$Q$$ проведём прямую $$b \parallel BC,$$ пусть $$b \cap CD=P.$$

Через точку $$Q_1$$ проведём прямую $$b_1 \parallel B_1C_1,$$ пусть $$b_1 \cap C_1D_1=P_1.$$

Соединим точки $$P_1$$ и $$Q_1.$$ Тогда $$PQ \parallel BC,$$ $$Q_1P_1 \parallel B_1C_1,$$ а стороны $$PP_1$$ и $$QQ_1$$ лежат на гранях параллелепипеда, следовательно, $$PP_1Q_1Q$$ — искомое сечение.

в) Плоскость $$BDD_1$$ проходит через рёбра $$BB_1$$ и $$DD_1$$ и пересекает грани $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ по прямым $$BD$$ и $$B_1D_1.$$

Через точку $$M$$ проведём прямую $$m \parallel BB_1.$$ Пусть $$m \cap AB=K$$ и $$m \cap A_1B_1=K_1.$$

Через точку $$K$$ проведём прямую $$b \parallel BD,$$ пусть $$b \cap AD=N.$$

Через точку $$K_1$$ проведём прямую $$b_1 \parallel B_1D_1,$$ пусть $$b_1 \cap A_1D_1=N_1.$$

Соединим точки $$N_1$$ и $$K_1.$$ Тогда $$NK \parallel BD,$$ $$N_1K_1 \parallel B_1D_1,$$ а стороны $$NN_1$$ и $$KK_1$$ лежат на гранях параллелепипеда, значит, $$NN_1K_1K$$ — искомое сечение.