Упр.82 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и отметьте внутреннюю точку $$M$$ грани $$AA_1B_1B$$. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку $$M$$ параллельно: а) плоскости основания $$ABCD$$; б) грани $$BB_1C_1C$$; в) плоскости $$BDD_1$$.

Подробный ответ

а) Плоскость, проходящая через точку $$M$$ и параллельная плоскости основания $$ABCD$$, пересекает параллельные грани параллелепипеда по параллельным прямым. Поэтому искомое сечение — параллелограмм, стороны которого параллельны рёбрам основания.

Проведём через точку $$M$$ прямую $$m \parallel AB$$, пусть $$m \cap AA_1=A_2$$ и $$m \cap BB_1=B_2$$. Через точку $$A_2$$ проведём прямую $$a \parallel AD$$, пусть $$a \cap DD_1=D_2$$. Через точку $$B_2$$ проведём прямую $$b \parallel BC$$, пусть $$b \cap CC_1=C_2$$. Соединим точки $$C_2$$ и $$D_2$$. Тогда четырёхугольник $$A_2B_2C_2D_2$$ — искомое сечение.

б) Если секущая плоскость параллельна грани $$BB_1C_1C$$, то линии её пересечения с гранями параллелепипеда параллельны рёбрам этой грани.

Через точку $$M$$ проведём прямую $$m \parallel BB_1$$, пусть $$m \cap AB=Q$$ и $$m \cap A_1B_1=Q_1$$. Через точку $$Q$$ проведём прямую $$b \parallel BC$$, пусть $$b \cap CD=P$$. Через точку $$Q_1$$ проведём прямую $$b_1 \parallel B_1C_1$$, пусть $$b_1 \cap C_1D_1=P_1$$. Соединим $$P_1$$ и $$Q_1$$. Тогда четырёхугольник $$PP_1Q_1Q$$ — искомое сечение.

в) Плоскость $$BDD_1$$ проходит через рёбра $$BB_1$$ и $$DD_1$$ и пересекает грани $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ по прямым $$BD$$ и $$B_1D_1$$. Значит, стороны искомого сечения должны быть параллельны прямым $$BD$$ и $$B_1D_1$$.

Через точку $$M$$ проведём прямую $$m \parallel BB_1$$, пусть $$m \cap AB=K$$ и $$m \cap A_1B_1=K_1$$. Через точку $$K$$ проведём прямую $$b \parallel BD$$, пусть $$b \cap AD=N$$. Через точку $$K_1$$ проведём прямую $$b_1 \parallel B_1D_1$$, пусть $$b_1 \cap A_1D_1=N_1$$. Соединим $$N_1$$ и $$K_1$$. Тогда четырёхугольник $$NN_1K_1K$$ — искомое сечение.

Ответ: а) $$A_2B_2C_2D_2$$; б) $$PP_1Q_1Q$$; в) $$NN_1K_1K$$.