Упр.819 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка М лежит внутри четырёхугольника ABCD. Докажите, что ?AMD=?ABM+?MCD тогда и только тогда, когда окружности, описанные около треугольников АВМ и MCD, имеют в точке М общую касательную.

Пусть через точку $$M$$ проведена прямая $$ME$$, касающаяся окружности, описанной около треугольника $$ABM$$. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой

$$\angle AME=\angle ABM.$$

Если при этом прямая $$ME$$ является также касательной к окружности, описанной около треугольника $$MCD$$, то аналогично

$$\angle EMD=\angle MCD.$$

Тогда

$$\angle AMD=\angle AME+\angle EMD=\angle ABM+\angle MCD.$$

Докажем обратное. Пусть

$$\angle AMD=\angle ABM+\angle MCD.$$

Проведём через точку $$M$$ касательную $$ME$$ к окружности, описанной около треугольника $$ABM$$. Тогда

$$\angle AME=\angle ABM.$$

Из условия получаем

$$\angle EMD=\angle AMD-\angle AME=\angle MCD.$$

Следовательно, прямая $$ME$$ образует с хордой $$MD$$ угол, равный углу, опирающемуся на эту хорду в окружности, описанной около треугольника $$MCD$$. Значит, $$ME$$ является касательной и к этой окружности.

Итак, окружности, описанные около треугольников $$ABM$$ и $$MCD$$, имеют в точке $$M$$ общую касательную тогда и только тогда, когда

$$\angle AMD=\angle ABM+\angle MCD.$$

Ответ

$$\angle AMD=\angle ABM+\angle MCD$$ тогда и только тогда, когда окружности, описанные около треугольников $$ABM$$ и $$MCD$$, имеют в точке $$M$$ общую касательную.