Упр.819 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка $$M$$ лежит внутри четырёхугольника $$ABCD$$. Докажите, что $$\angle AMD=\angle ABM+\angle MCD$$ тогда и только тогда, когда окружности, описанные около треугольников $$ABM$$ и $$MCD$$, имеют в точке $$M$$ общую касательную.

Подробный ответ

Проведём через точку $$M$$ касательную к окружности, описанной около треугольника $$ABM$$, и обозначим точку касания через $$E$$.

Тогда по теореме об угле между касательной и хордой

$$\angle AME=\angle ABM.$$

Если прямая $$ME$$ является также касательной к окружности, описанной около треугольника $$MCD$$, то аналогично

$$\angle EMD=\angle MCD.$$

Сложим эти углы:

$$\angle AMD=\angle AME+\angle EMD=\angle ABM+\angle MCD.$$

Обратно, пусть выполнено равенство

$$\angle AMD=\angle ABM+\angle MCD.$$

Проведём через $$M$$ касательную $$ME$$ к окружности, описанной около $$\triangle ABM$$. Тогда

$$\angle AME=\angle ABM.$$

Из условия получаем

$$\angle EMD=\angle AMD-\angle AME=\angle MCD.$$

Значит, прямая $$ME$$ образует с хордой $$MD$$ угол, равный вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду. Следовательно, $$ME$$ является касательной и к окружности, описанной около треугольника $$MCD$$.

Итак, $$\angle AMD=\angle ABM+\angle MCD$$ тогда и только тогда, когда окружности, описанные около треугольников $$ABM$$ и $$MCD$$, имеют в точке $$M$$ общую касательную.