Упр.818 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямая $$AC$$ — касательная к окружности с центром $$O_1$$, а прямая $$BD$$ — касательная к окружности с центром $$O_2$$ (рис. 208). Докажите, что:

а) $$AD?BC$$;

б) $$AB^2=AD\cdot BC$$;

в) $$\frac{BD^2}{AC^2}=\frac{AD}{BC}$$.

Так как $$AC$$ и $$BD$$ — касательные к окружностям, то по теореме об угле между касательной и хордой получаем:

$$\angle DBA=\frac12\overset{\frown}{AMB}=\angle BCA,$$

$$\angle CAB=\frac12\overset{\frown}{ANB}=\angle ADB.$$

Найдём третий угол треугольника $$DAB$$:

$$\angle DAB=180^\circ-\angle ADB-\angle DBA=180^\circ-\angle CAB-\angle BCA=\angle ABC.$$

Следовательно, $$\angle DAB$$ и $$\angle ABC$$ — накрест лежащие углы при прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AB$$, значит,

$$AD\parallel BC.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$BAD$$ и $$CBA$$. У них:

$$\angle DAB=\angle ABC,$$

$$\angle DBA=\angle BCA.$$

Значит, $$\triangle BAD\sim\triangle CBA$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BD}.$$

Из равенства $$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AB}$$ получаем

$$AB^2=AD\cdot BC.$$

А из равенства $$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{BD}$$ имеем

$$\frac{BD}{AC}=\frac{AD}{AB}.$$

Возведём в квадрат и подставим $$AB^2=AD\cdot BC$$:

$$\frac{BD^2}{AC^2}=\frac{AD^2}{AB^2}=\frac{AD^2}{AD\cdot BC}=\frac{AD}{BC}.$$

Итак,

$$AD\parallel BC,\qquad AB^2=AD\cdot BC,\qquad \frac{BD^2}{AC^2}=\frac{AD}{BC}.$$