Упр.818 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая АС — касательная к окружности с центром О_1, а прямая BD — касательная к окружности с центром O_2 (рис. 208). Докажите, что: а) AD?BC; б) AB^2=AD·BC; в) BD^2:AC^2=AD:BC.
1) Так как $$AC$$ — касательная к окружности с центром $$O_1$$, а $$BD$$ — касательная к той же окружности в точке $$B$$, то по теореме о касательной и хорде
$$\angle BCA=\frac12 \overset{\frown}{AMB}=\angle DBA.$$
Аналогично, для окружности с центром $$O_2$$ получаем
$$\angle CAB=\frac12 \overset{\frown}{ANB}=\angle ADB.$$
2) Тогда в треугольнике $$DAB$$
$$\angle DAB=180^\circ-\angle ADB-\angle DBA=180^\circ-\angle CAB-\angle BCA.$$
Но $$\angle CAB+\angle BCA=180^\circ-\angle ABC$$, значит
$$\angle DAB=\angle ABC.$$
Следовательно, при секущей $$AB$$ накрест лежащие углы равны, значит
$$AD \parallel BC.$$
3) Рассмотрим треугольники $$BAD$$ и $$CBA$$. У них
$$\angle DAB=\angle ABC,$$
$$\angle DBA=\angle BCA.$$
Значит, $$\triangle BAD \sim \triangle CBA$$.
Из подобия получаем
$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BD}.$$
Отсюда
$$AB^2=AD\cdot BC.$$
И далее
$$\frac{BD^2}{AC^2}=\frac{AB^2}{BC^2}=\frac{AD\cdot BC}{BC^2}=\frac{AD}{BC}.$$
Что и требовалось доказать.
Ответ
$$AD \parallel BC,$$ $$AB^2=AD\cdot BC,$$ $$\dfrac{BD^2}{AC^2}=\dfrac{AD}{BC}.$$