Упр.817 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Две окружности имеют единственную общую точку $$M$$. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках $$A$$ и $$A_1$$, а другую — в точках $$B$$ и $$B_1$$. Докажите, что $$AA_1 \parallel BB_1$$.

Построим общую касательную $$ME$$ к обеим окружностям в точке $$M$$. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной:

$$O_1M \perp ME,\qquad O_2M \perp ME.$$

Отметим на прямой $$ME$$ точку $$E_1$$ по другую сторону от точки $$M$$.

Рассмотрим окружность с хордой $$MB_1$$. Угол между касательной $$ME$$ и хордой $$MB_1$$ равен половине дуги, стягиваемой этой хордой:

$$\angle EMB_1=\frac12 \overset{\frown}{MB_1}=\angle MBB_1.$$

Аналогично для другой окружности:

$$\angle A_1ME_1=\frac12 \overset{\frown}{A_1M}=\angle A_1AM.$$

Так как углы $$\angle EMB_1$$ и $$\angle A_1ME_1$$ — вертикальные, то

$$\angle EMB_1=\angle A_1ME_1.$$

Следовательно,

$$\angle A_1AM=\angle MBB_1.$$

Теперь рассмотрим прямые $$AA_1$$ и $$BB_1$$, пересечённые секущей $$AB$$. Получили равенство накрест лежащих углов:

$$\angle A_1AM=\angle MBB_1.$$

Значит,

$$AA_1 \parallel BB_1.$$

Ответ: $$AA_1 \parallel BB_1$$.