Упр.817 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и A_1, а другую — в точках В и B_1. Докажите, что AA_1?BB_1.

Построим общую касательную $$ME$$ к обеим окружностям. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной:

$$O_1M \perp ME,\qquad O_2M \perp ME.$$

На прямой $$ME$$ отметим точку $$E_1$$ по другую сторону от точки $$M$$.

Рассмотрим угол $$\angle EMB_1$$. По теореме об угле между касательной и хордой имеем

$$\angle EMB_1=\frac12 \overset{\frown}{MB_1}=\angle MBB_1.$$

С другой стороны, углы $$\angle EMB_1$$ и $$\angle A_1ME_1$$ — вертикальные, значит

$$\angle EMB_1=\angle A_1ME_1.$$

Снова по теореме об угле между касательной и хордой для первой окружности получаем

$$\angle A_1ME_1=\frac12 \overset{\frown}{A_1M}=\angle A_1AM.$$

Следовательно,

$$\angle A_1AM=\angle MBB_1.$$

Теперь рассмотрим прямые $$AA_1$$ и $$BB_1$$, а также секущую $$AB$$. Углы $$\angle A_1AM$$ и $$\angle MBB_1$$ — накрест лежащие, поэтому из их равенства следует, что

$$AA_1 \parallel BB_1.$$

Ответ

$$AA_1 \parallel BB_1.$$