Упр.816 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через точку $$D$$, лежащую на радиусе $$OA$$ окружности с центром $$O$$, проведена хорда $$BC$$, перпендикулярная к $$OA$$, а через точку $$B$$ проведена касательная к окружности, пересекающая прямую $$OA$$ в точке $$E$$. Докажите, что луч $$BA$$ — биссектриса угла $$CBE$$.

Подробный ответ

Проведём радиусы $$OB$$ и $$OC$$. Так как $$BC \perp OA$$, а прямая $$OA$$ проходит через центр окружности и перпендикулярна хорде $$BC$$, то она делит хорду $$BC$$ пополам. Следовательно, точка $$D$$ — середина хорды $$BC$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle BOD$$ и $$\triangle COD$$. Имеем:

$$OB=OC$$ как радиусы одной окружности;
$$OD$$ — общая сторона;
$$BD=DC$$, так как $$D$$ — середина хорды $$BC$$.

Значит, $$\triangle BOD \cong \triangle COD$$, откуда $$\angle BOD=\angle DOC$$. Но эти углы смежные, поэтому каждый из них равен $$90^\circ$$, и, в частности, $$OD \perp BC$$.

Теперь рассмотрим углы $$\angle ABE$$ и $$\angle ABC$$.

По теореме об угле между касательной и хордой:

$$\angle ABE=\frac12 \overset{\frown}{BA}=\frac12 \angle BOA,$$

а также

$$\angle ABC=\frac12 \overset{\frown}{AC}=\frac12 \angle AOC.$$

Так как $$OD$$ — перпендикуляр к хорде $$BC$$, то в равнобедренном треугольнике $$BOC$$ он является и биссектрисой, значит, $$\angle BOD=\angle DOC$$ и дуги $$\overset{\frown}{BA}$$ и $$\overset{\frown}{AC}$$ равны. Следовательно, соответствующие вписанные углы равны:

$$\angle ABE=\angle ABC.$$

Значит, луч $$BA$$ делит угол $$CBE$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$CBE$$.

Ответ: $$BA$$ — биссектриса угла $$CBE$$.