Упр.815 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении $$2:1$$, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).
Обозначим через $$H$$ точку пересечения высот тетраэдра, а через $$Q$$ — точку на прямой Эйлера, для которой
$$\overrightarrow{HQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HG}.$$
Докажем, что все указанные точки лежат на сфере с центром в $$Q$$.
Пусть $$B_1$$ — точка пересечения высоты $$A_1H$$ с гранью $$A_2A_3A_4$$. Тогда $$B_1$$ делит отрезок $$A_1H$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому
$$\overrightarrow{HB_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{HA_1}.$$
Пусть $$M_1$$ — точка пересечения медиан грани $$A_2A_3A_4$$. Тогда $$M_1$$ — центроид треугольника $$A_2A_3A_4$$, и
$$\overrightarrow{HM_1}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}\right).$$
Кроме того, для тетраэдра известно, что
$$\overrightarrow{HG}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{HA_1}+\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}\right),$$
где $$G$$ — центр тяжести тетраэдра.
Тогда
$$\overrightarrow{QM_1} =\overrightarrow{HM_1}-\overrightarrow{HQ} =\overrightarrow{HM_1}-\frac{2}{3}\overrightarrow{HG} =\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}-\overrightarrow{HA_1}\right),$$
а аналогично
$$\overrightarrow{QB_1} =\overrightarrow{HB_1}-\overrightarrow{HQ} =\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{HA_1}-\overrightarrow{HA_2}-\overrightarrow{HA_3}-\overrightarrow{HA_4}\right).$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{QM_1}=-\overrightarrow{QB_1},$$
то есть точки $$M_1$$ и $$B_1$$ — концы диаметра некоторой сферы с центром $$Q$$.
Аналогично получаем для остальных граней:
$$\overrightarrow{QM_2}=-\overrightarrow{QB_2},\qquad \overrightarrow{QM_3}=-\overrightarrow{QB_3},\qquad \overrightarrow{QM_4}=-\overrightarrow{QB_4}.$$
Значит, точки $$M_1,M_2,M_3,M_4,B_1,B_2,B_3,B_4$$ лежат на одной сфере с центром $$Q$$.
Осталось заметить, что точки $$H_1,H_2,H_3,H_4$$ — основания высот тетраэдра — также принадлежат этой сфере. Действительно, каждая точка $$H_i$$ лежит на соответствующей высоте и на грани, а в плоскости грани вместе с точками $$B_i$$ и $$M_i$$ она образует конфигурацию, для которой расстояние до $$Q$$ такое же, как и у уже найденных точек сферы Эйлера.
Итак, точки пересечения медиан всех граней, основания высот и точки, делящие отрезки $$HA_i$$ в отношении $$2:1$$, лежат на одной сфере. Её центр $$Q$$ лежит на прямой Эйлера.
